2019高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量规范答题示例1解三角形学案

物类之起,必有所始。荣辱之来,必象其德。肉腐出虫,鱼枯生蠹。怠慢忘身,祸灾乃作。强自取柱,柔自取束。邪秽在身,怨之所构。施薪若一,火就燥也,平地若一,水就湿也。草木畴生,禽兽群焉,物各从其类也。是故质的张,而弓矢至焉;林木茂,而斧斤至焉;树成荫,而众鸟息焉。规范答题示例1 解三角形

典例1 (14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=(1)求b的值; (2)求△ABC的面积.

审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A,sin B→利用正弦定理求b 1

(2)方法一余弦定理求边c→S△ABC=acsin B

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方法二用和角正弦公式求sin C→S△ABC=absin C

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规 范 解 答·分 步 得 分 解 (1)在△ABC中,由题意知,sin A=1-cos2A=分 π6?π?又因为B=A+,所以sin B=sin?A+?=cos A=.4分 第二步 2?23?63×3asin B由正弦定理,得b===32.7分 sin A33b2+c2-a26(2)方法一 由余弦定理,得cos A==,所以2bc3的边和角,确定转化方向. 3,23构 建 答 题 模 板 第一步 找条件:寻找三角形中已知6π

,B=A+. 32

定工具:根据已知条件和转化方向,选择使用的定理和公式,实施边角之间的转化. 第三步 求结果:根据前两步分析,c2-43c+9=0, 物类之起,必有所始。荣辱之来,必象其德。肉腐出虫,鱼枯生蠹。怠慢忘身,祸灾乃作。强自取柱,柔自取束。邪秽在身,怨之所构。施薪若一,火就燥也,平地若一,水就湿也。草木畴生,禽兽群焉,物各从其类也。是故质的张,而弓矢至焉;林木茂,而斧斤至焉;树成荫,而众鸟息焉。解得c=3或33,10分 π又因为B=A+为钝角,所以b>c,即c=3,12分 211632所以S△ABC=acsin B=×3×3×=.14分 2232方法二 由(1)知cos A=sin B=63,sin A=,9分 33代入求值得出结果. 第四步 再反思:转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性. 63?π?,cos B=cos?A+?=-sin A=-,10分 2?33?所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A =3?6613?×?-?+×=,12分 3?3?33311132所以S△ABC=absin C=×3×32×=.14分 2232

评分细则 (1)第(1)问:没求sin A而直接求出sin B的值,不扣分;写出正弦定理,但b计算错误,得1分.

(2)第(2)问:写出余弦定理,但c计算错误,得1分;求出c的两个值,但没舍去,扣2分;面积公式正1

确,但计算错误,只给1分;若求出sin C,利用S=absin C计算,同样得分.

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跟踪演练1 (2018·江苏南京师大附中模拟)已知A,B,C是△ABC的三个内角,向量m=(-1,3),n=(cos A,sin A),且m·n=1. (1)求A的值;

1+sin 2B

(2)若=-3,求tan C的值.

cos2B-sin2B解 (1)因为m·n=1,

所以(-1,3)·(cos A,sin A)=1, 即3sin A-cos A=1, 则2?sin A·

??31?

-cos A·?=1, 22?

?π?1

即sin?A-?=,

6?2?

ππ5π

又0

666πππ

故A-=,所以A=.

663

1+2sin Bcos B(2)由题意知=-3,整理得

cos2B-sin2B

物类之起,必有所始。荣辱之来,必象其德。肉腐出虫,鱼枯生蠹。怠慢忘身,祸灾乃作。强自取柱,柔自取束。邪秽在身,怨之所构。施薪若一,火就燥也,平地若一,水就湿也。草木畴生,禽兽群焉,物各从其类也。是故质的张,而弓矢至焉;林木茂,而斧斤至焉;树成荫,而众鸟息焉。sinB-sin Bcos B-2cosB=0,

易知cos B≠0,所以tanB-tan B-2=0, 所以tan B=2或tan B=-1,

当tan B=-1时cosB-sinB=0,不合题意舍去, 所以tan B=2,

故tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) tan A+tan B8+53=-=. 1-tan Atan B11

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