9、高三(理科)导数压轴题题型归纳(教师版)

导数综合题题型练习(理科)

一、 高考命题回顾

例1已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(2013全国新课标Ⅱ卷)

(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. 解答: f(x)=ex-ln(x+m)?f′(x)=ex-x

11?f′(0)=e0-=0?m=1, x+m0+m

xe(x?1)?11

定义域为{x|x>-1},f′(x)=e-=?,

x+mx?1显然f(x)在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.

1

(2)证明 g(x)=ex-ln(x+2),则g′(x)=ex-(x>-2).

x+211xh(x)=g′(x)=ex-(x>-2)?h′(x)?e?>0, 2x+2(x?2)所以h(x)是增函数,h(x)=0至多只有一个实数根,

1111

又g′(-)=-<0,g′(0)=1->0,

22e3

2

所以h(x)=g′(x)=0的唯一实根在区间(?1,0)内,

21

设g′(x)=0的根为t,则有g′(t)=et-=0(?1?t?0),

t+221-

所以,et=?t+2=et,

t+2

当x∈(-2,t)时,g′(x)g′(t)=0,g(x)单调递增;

+t21t

所以g(x)min=g(t)=e-ln(t+2)=+t=>0,

t+2t+2

当m≤2时,有ln(x+m)≤ln(x+2),

所以f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)=g(x)≥g(x)min>0. 例2已知函数f(x)满足f(x)?f'(1)ex?1?f(0)x?12x(2012全国新课标) 2(1)求f(x)的解析式及单调区间;

12x?ax?b,求(a?1)b的最大值。 212x?1x?1解答:(1)f(x)?f?(1)e?f(0)x?x?f?(x)?f?(1)e?f(0)?x

2 令x?1得:f(0)?1

12?11?(1x??)e??x?xf(?0)?f?(1?e)?1f (1)e f(x)?f212xx 得:f(x)?e?x?x?g(x)?f?(x)?e?1?x

2xx)x?R上单调递增 g?(x)?e?1?0?y?g(在?)x?0f,x(?)?0?f(?0)x ? f?(x)?0?f?(0?12x 得:f(x)的解析式为f(x)?e?x?x

2 且单调递增区间为(0,??),单调递减区间为(??,0)

(2)若f(x)?第 1 页 共 22 页

(2)f(x)?12x?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0得h?(x)?ex?(a?1) 2 ①当a?1?0时,h?(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增 x???时,h(x)???与h(x)?0矛盾

②当a?1?0时,h?(x)?0?x?ln(a?1),h?(x)?0?x?ln(a?1) 得:当x?ln(a?1)时,h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0

(a?1)b?(a?1)?(a?1)ln(a?1)(a?1?0) 令F(x)?x?xlnx(x?0);则F?(x)?x(1?2lnx)

2222e,F?(x)?0?x?e e 当x?e时,F(x)max?

2e 当a?e?1,b?e时,(a?1)b的最大值为

2alnxb?,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0。(2011全国例3已知函数f(x)?x?1x新课标)

(Ⅰ)求a、b的值;

(Ⅱ)如果当x?0,且x?1时,f(x)? F?(x)?0?0?x?lnxk?,求k的取值范围。 x?1xx?1?lnx)1bx?x?2y?3?0解(Ⅰ)f'(x)? 由于直线的斜率为, ?222(x?1)x?f(1)?1,?b?1,??且过点(1,1),故?即解得a?1,b?1。 ?a11

f'(1)??,?b??,???2?22lnx1?,所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)?x?1xlnxk1(k?1)(x2?1) f(x)?(?)?(2lnx?)。

x?1x1?x2x?((k?1)(x2?1)?2x(k?1)(x2?1)(x?0),则h'(x)?考虑函数h(x)?2lnx?。 2xx22k(x?1)?(x?1)(i)设k?0,由h'(x)?知,当x?1时,h'(x)?0,h(x)递减。而h(1)?0 故当x?(0,1)2x1h(x)?0; 时, h(x)?0,可得21?x1当x?(1,+?)时,h(x)<0,可得 h(x)>0 21?xlnxklnxk从而当x>0,且x?1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+. x?1xx?1x222(ii)设0

'11?1当x?(1,对称轴x=)时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故h (x)>0,而h(1)=0,故当x?1?k1?k.11(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。

1?k1?x2第 2 页 共 22 页

2(iii)设k?1.此时x?1?2x,(k?1)(x?1)?2x?0?h(x)>0,而h(1)=0,故当x? (1,+?)

2'1 h(x)<0,与题设矛盾。 21?x 综合得,k的取值范围为(-?,0]

时,h(x)>0,可得

例4已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)ex. (2009宁夏、海南)

(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6. 解: (1)当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x,故

f′(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x +(3x2+6x-3)e-x =-e-x (x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x.

当x<-3或0<x<3时,f′(x)>0;当-3<x<0或x>3时,f′(x)<0. 从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少.

(2)f′(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x +(3x2+6x+a)e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a]. 由条件得f′(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a. 从而f′(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a].因为f′(α)=f′(β)=0,

所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)[x2-(α+β)x+αβ]. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β=-2,αβ=a-2. 故????(???)2?4???12?4a.又(β-2)(α-2)<0,

即αβ-2(α+β)+4<0.由此可得a<-6. 于是β-α>6.

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