专题对数函数及其性质
1 基础知识 一）：对数函数的概念
1．定义：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 二）：对数函数的图象和性质
1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 ○
（1） y?log2x（2） y?log1x
2y log2x log3x （3） y?log3x（4） y?log1x
3O (1,0) x
2 对数函数的性质： ○
log1x logx 123 32.5a>1 32.50 1、定义：一般地，设函数y?f(x)(x?A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x???y?. 若对于y在C中的任何一个值，通过x???y?，x在A中都有唯一的值和它对应，那么， x???y?就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x???y? (y?C)叫做函数 y?f(x)(x?A)的反函数，记作x?f?1(y),习惯上改写成y?f?1(x) 2、反函数的性质： x(1)指数函数y＝a与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 443321-6-4-22111A01-1-2246-20-1-21246-3-3 (2)互为反函数定义域、值域互换； (3)互为反函数单调性、奇偶性、周期性相同 (4)原函数过(m,n)点，则反函数过点(n,m) 2 典型例题 类型一、函数的定义域、值域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 1 求下列函数的定义域： 2(1)y?logax； (2)y?loga?4?x??a?0且a?1?. 2 解：(1)因为x ?0，即x≠0，所以函数y?logx2的定义域为 ?x|x?0?； a (2)因为4-x>0，即x＜4，所以函数y?loga?4?x?的定义域为?x|x?4?. 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域. x3?1xx (1) y= (2) y=ln(a-k·2)(a＞0且a≠1，k∈R). log1(x?1)?123 x 【变式2】函数y=f(2)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域. 类型二、函数图象问题 2．作出下列函数的图象： (1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx. 解：(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3). 类型三、对数函数的单调性及其应用 1. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log23.4，log28.5 (2)log0.31.8，log0.32.7 (3)loga5.1，loga5.9(a＞0且a≠1) 解：(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方 所以，log23.4＜log28.5； + 解法2：由函数y=log2x在R上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5； 解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5； + (2)与第(1)小题类似，log0.3x在R上是单调减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7； (3)解法1：当a＞1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以，loga5.1＜loga5.9 当0＜a＜1时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以，loga5.1＞loga5.9 解法2：令b1=loga5.1，则 x ，令b2=loga5.9，则 . 当a＞1时，y=a在R上是增函数，且5.1＜5.9，所以，b1＜b2，即当0＜a＜1时，y=a在R上是减函数，且5.1＜5.9，所以，b1＞b2，即 举一反三： 【变式1】若logm3.5＞logn3.5(m，n＞0， 且m≠1， n≠1)，试比较m ，n的大小. 22. 证明函数y?log2(x?1)在(0,??)上是增函数. x 22 证明：设x1、x2?(0,??)，且x1＜x2，则f(x1)?f(x2)?log(x1?1)?log(x2?1) 22 Q0?x1?x2?x1?1?x2?1 又Qy=log2x在(0,??)上是增函数 222 ?log(x1?1)?log(x2?1)即f(x1)＜f(x2)∴函数f(x)=log2(x+1)在 上是增函数. 举一反三： a(x2?1)【变式1】已知f(logax)=(a＞0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性. 2x(a?1)