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课时规范练51 直接证明与间接证明
一、选择题
1.若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是( ) A.lg(1+a2)>0 B.a2+b2≥2(a-b-1) C.a2+3ab>2b2 D. 答案:B
解析:在B中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立. 2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:a”“索”的“因”应是( ) A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 答案:C 解析:a?b2-ac<3a2?(a+c)2-ac<3a2
?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
3.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B
4.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( ) A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0 C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 答案:D
解析:因为a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0.
5.证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( ) A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数 答案:B
解析:“至少有一个”的否定是“都不是”.
6.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ1,τ2,τ3,τ4,则下列关系中正确的是( )
A.τ1>τ4>τ3 B.τ3>τ1>τ2 C.τ4>τ2>τ1 D.τ3>τ4>τ1 答案:C
解析:在图(1)中,设图形所在的矩形长为a,宽为b,则其周率为,由不等式的性质可知≤2;在图(2)中设大圆的半径为R,则易知外边界长为πR,而内边界恰好为一个半径为的小圆的周长πR,故整个边界长为2πR,而封闭曲线的直径最大值为2R,故周率为π;图(3)中周长为直径的三倍,故周率为3;图(4)中设各边长为a,则整个边界的周长为12a,直径为2a,故周率为2,故周率大小顺序符合的是选项C. 二、填空题
7.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为 . 答案:cn+1 解析:由条件得cn=an-bn=-n=, ∴cn随n的增大而减小. ∴cn+1 8.若0 ------珍贵文档!值得收藏！------ ------精品文档!值得拥有！------ 答案:a+b 9.已知命题:“在等差数列{an}中,若4a2+a10+a( )=24,则S11为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为 . 答案:18 解析:S11==11a6,由S11为定值,可知a6=a1+5d为定值. 设4a2+a10+an=24,整理得a1+d=4,可知n=18. 10.请阅读下列材料:若两个正实数a1,a2满足=1,那么a1+a2≤. 证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤. 根据上述证明方法,若n个正实数满足+…+=1时,你能得到的结论为 . 答案:a1+a2+…+an≤ 解析:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1, 因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0, 从而得4(a1+a2+…+an)2-4n≤0, 所以a1+a2+…+an≤. 11.α,β,γ是三个平面,a,b是两条直线,有下列三个条件: ①a∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ. 如果命题“α∩β=a,b?γ,且 ,则a∥b”为真命题.(填序号) 答案:①或③ 三、解答题 12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=120°,c=a,求证:a>b. 证明:由正弦定理,得, ∴sin A=. ∴A>30°. ∴B=180°-120°-A<30°. ∴a>b. 13.已知a>0,求证:≥a+-2. 证明:要证≥a+-2, 只要证+2≥a+. ∵a>0,故只要证, 即a2++4+4≥a2+2++2+2, 从而只要证2, 只要证4≥2, 即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立. 14.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bn·bn+2<. 解:(1)由已知得an+1=an+1, 则an+1-an=1, 又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列. 故an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知an=n,从而bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1. 因为bn·bn+2-=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1) =-2n<0, 所以bn·bn+2<. 15.已知函数f(x)=ax+(a>1), (1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明f(x)=0没有负实数根. 证明:(1)任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1 ------珍贵文档!值得收藏！------ ------精品文档!值得拥有！------ 则x2-x1>0,>1,且>0, 所以-1)>0. 又因为x1+1>0,x2+1>0, 所以 =>0, 于是f(x2)-f(x1)=>0, 故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)设存在x0<0(x0≠-1),满足f(x0)=0, 则=-. 又0<<1,所以0<-<1,即 1.设0 解析:由已知易得1+x>2,∴b>a. ∵(1+x)(1-x)=1-x2<1,又0 ∴1+x<,∴c>b.∴c>b>a,即c最大. 2.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 . 答案:x 解析:∵a,b是不相等的正数,∴x>0且y>0, ∴y2-x2=a+b->0,∴x 3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点.若f(c)=0,且0 (1)证明:∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2. ∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根, 又x1x2=,∴x2=, ∴是f(x)=0的一个根,即是函数f(x)的一个零点. (2)解:假设 这与f=0矛盾,∴≥c, 又∵≠c,∴>c. ------珍贵文档!值得收藏！------