2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答（武 汉 大 学）
一、设{xn}满足: |xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1 ，证明{xn}收敛。
证明：（分析：压缩映像原理）
1?r,则显然|qn|?m?12|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|?m|xn?xn?1|令：m?(此即压缩映像原理证明)以下证明压缩映像原理利用Cauchy收敛准则，对??,n?p?1|xn?p?xn|?i?n?1?|x?xii?1|?(1?m?...?mp?1)|xn?1?xn|
mn?1|x2?x1|1?mpn?1?m|x2?x1|?1?m1?m1?m?ln|x2?x1|取N?+1,对任意的n?Nlnm|xn?p?xn|??。从而知命题收敛
二、对任意δ > 0。证明级数?n?0??1在(1,1+δ)上不一致收敛。 xn证明：（利用反证法，Cauchy收敛准则和定义证明。）
如果级数收敛，那么对于???0,?x?(1,1??),?N,当n,M?N时11?()M?N?1M111x???n?n?n1xxn?Nx1?x只需令x?(1,min{1??,n从而知非一致收敛?
?})?(1,1??),代入上式，矛盾三、设f(x)??|x?y|sinydy,求f\x)
01解，（本题利用莱布尼兹求导法则：）
F(x，?)??b(x)a(x)f(x，?)dxb(?)?f(x，?)?F?b(?)?a(?)??dx?f(b(?)，?)?f(a(?)，?)a(?)????????f(x)??|x?y|sinydy01?x(x?y)sinydy?1(y?x)sinydy,x?[0,1]?x??0?1f(x)???(x?y)sinydy,x?(1,??)0?1?(y?x)sinydy,x?(??,0)??0?xsinydy?1xsinydy,x?[0,1]?x??0?1f'(x)???sinydy,x?(1,??)0?1??sinydy,x?(??,0)??0?2sinx,x?[0,1]?f\x)??0,x?(1,??)?0,x?(??,0)?
四、判断级数?lnlnnsinn的绝对收敛性和相对收敛性 lnnn?2??解：（1）绝对收敛性：（主要使用放缩法）
首先，不难证明对于?n?N,|sinn|?|sin(n?1)|?2sin当M足够大的时候,lnlnM?1????lnlnnlnlnnlnlnn|sinn|?|sinn|?|sinn|???lnnn?Mn?Mlnnn?Mlnn??1?A2
?n??ln2n。显然，该级数发散。即不绝对收敛M2??A（2）相对收敛性：（A-D判别法） <1>{an}收敛于0，?bn有界<2>{an}有界，?an收敛满足上述任意一个条件?anbn收敛
1??12sinn?sinn?(积化和差)??11n?2cosn?2cos22lnlnn1lim?lim?0(L'Hospital法则) n??lnnn??lnn根据Dirichlet判别法，知该级数收敛??cos
五、计算I??(y2?z)dx?(x?2yz)dy?(x?y2)dz，其中Γ为曲线
?2222??x?y?z?a,z?0,0?2b?a，从z轴的正方向看过去，Γ是逆时针方向 ?22??x?y?2bx解：（利用奇偶性做）
?x?a2?z2cos???22?y?a?zsin?,代入方程得到?z?z????dx??4bcos?sin?d???2yd??x?2bcos2??????2y?2bcos?sin???[?,]???dy?2b(1?2sin?)d??2(x?b)d?22??22228bcos?sin?4byz?a?4bcos???dz?d??d?222z?a?4bcos??I??(y2?z)dx?(x?2yz)dy?(x?y2)dz????2?xdy,(利用奇偶性，第一第三个积分为0)?2
??b2??(cos2??1)cos2?d2??b??cos2?2?2?2?d??b2?1?cos2?d2??b2???4?
六、设f(x)在[0,1]上变号，且为连续函数，求证：minf(x)???|f'(t)|dt
[0,1]01证明：（画出函数图像，分两段讨论：） 利用介值定理，取??[0，1]，??inf{x|f(x)?0},不难证明f(?)?0
(1)xmin?[0,?]?f(x)min???(2)xmin?[?，1]?f(x)min????xminf'(t)dt?????xmin|f'(t)|dt???|f'(t)|dt
0101xminf'(t)dt???xmin|f'(t)|dt???|f'(t)|dt七、证明含参变量反常积分???0sinxydy在[?，??]上一致收敛，其中δ>0，但是
x(1?y)在(0, ??)内不一定一致收敛。 证明：
(1)???0?Msinysinxy1??sinxydy??dxy?lim?dy00M???x(1?y)xx?xyx?y?2根据定义,???0,?N?2,?M?N?1Msiny1|?dy|?xNx?yx?1x?MNMMsiny11dysinydy?2dy22??NN(x?y)x(x?y) M?N11???。（利用了Cauchy-Schwarz不等式）MN?N??（2）?0sinxydy在[0，??]不一致收敛x(1?y)反证法：根据Cauchy收敛准则，??>0,?N,?M?N,当x?xM?M时sinydyMsinxyxMsiny?xMxNyM|?dxy|?dy?ydyNx?xyxNx?y?M2?MNxNM1?M??????xxxx1?M当M足够大时，上式显然不成立，矛盾。故原命题成立
八、在底面半径为a，高为h的正圆锥内作长方体，其一面与圆锥地面重合，对面
四个顶点在锥面上，求长方体的最大体积。 解：
首先，由于顶点所在的平面和圆锥的交线为一个圆A，四个顶点组成在圆上。所以，易知长方体的底面中点和圆锥底面的中点重合。另外，顶面的长方形对角线为圆A的直径d，即为定值。1S顶?sin??d2,当且仅当底面为正方形的时候取到。2不妨设，高为h'12?V?Sh'?dh'顶?2122a?dhddhdd8a2h?3?V?d(h)?(2a?d)?(??(2a?d))??122aa22a2227?h?h'2d??a?h本题还可以用Lagrange乘子法解决。但是，我觉得用初等方法也可以。我不用Lagrange乘子法用意是学习了高等数学不应该把初等数学方法忘记了。
九、设a?(0，1)，f(x)在[0,a]上连续，在(0,a),在（0，a）内可导，以及在(0,a)
内取到最值，且满足f(0)=0,f(a)=a。证明：
1）???(0,a),使得f(?)?a?； 2）???(0,a),使得f'(?)?a
证明：1）命题有问题，取a=1/2,f(x)=5x-8x2
f(0)=0,f(1/2)=1/2 f(x)在5/16取到最值，但是f(x)-ax只在x=0,x=9/16等于0，与命题1矛盾。
2）构造函数g(x)?f(x)?ax。由于f(x)为连续函数，所以g(x)在[0,a]上为连续函数，且一致连续反证法：如果命题不正确，那么g(x)?0,x?(0,a)根据题设，存在??(0,a),使得f'(?)?0?g'(?)??a由于g(?)?0,加上一致连续的条件，存在?'??,g(?')?g(?)由于g(0)?0,利用连续性和介值定理，存在??(0,?'),g(?)?g(?)根据Rolle中值定理，得到??(?,?),g'(?)?0?f'(?)?a
括号里的是我的个人意见，主要是一些思路。本人水平不够，如果有错误，希望大家不吝指出，并恳请大家原谅。 希望大家继续支持bossh！