武汉大学2005数学分析试题解答

2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答(武 汉 大 学)

一、设{xn}满足: |xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1 ,证明{xn}收敛。

证明:(分析:压缩映像原理)

1?r,则显然|qn|?m?12|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|?m|xn?xn?1|令:m?(此即压缩映像原理证明)以下证明压缩映像原理利用Cauchy收敛准则,对??,n?p?1|xn?p?xn|?i?n?1?|x?xii?1|?(1?m?...?mp?1)|xn?1?xn|

mn?1|x2?x1|1?mpn?1?m|x2?x1|?1?m1?m1?m?ln|x2?x1|取N?+1,对任意的n?Nlnm|xn?p?xn|??。从而知命题收敛

二、对任意δ > 0。证明级数?n?0??1在(1,1+δ)上不一致收敛。 xn证明:(利用反证法,Cauchy收敛准则和定义证明。)

如果级数收敛,那么对于???0,?x?(1,1??),?N,当n,M?N时11?()M?N?1M111x???n?n?n1xxn?Nx1?x只需令x?(1,min{1??,n从而知非一致收敛?

?})?(1,1??),代入上式,矛盾三、设f(x)??|x?y|sinydy,求f\x)

01解,(本题利用莱布尼兹求导法则:)

F(x,?)??b(x)a(x)f(x,?)dxb(?)?f(x,?)?F?b(?)?a(?)??dx?f(b(?),?)?f(a(?),?)a(?)????????f(x)??|x?y|sinydy01?x(x?y)sinydy?1(y?x)sinydy,x?[0,1]?x??0?1f(x)???(x?y)sinydy,x?(1,??)0?1?(y?x)sinydy,x?(??,0)??0?xsinydy?1xsinydy,x?[0,1]?x??0?1f'(x)???sinydy,x?(1,??)0?1??sinydy,x?(??,0)??0?2sinx,x?[0,1]?f\x)??0,x?(1,??)?0,x?(??,0)?

四、判断级数?lnlnnsinn的绝对收敛性和相对收敛性 lnnn?2??解:(1)绝对收敛性:(主要使用放缩法)

首先,不难证明对于?n?N,|sinn|?|sin(n?1)|?2sin当M足够大的时候,lnlnM?1????lnlnnlnlnnlnlnn|sinn|?|sinn|?|sinn|???lnnn?Mn?Mlnnn?Mlnn??1?A2

?n??ln2n。显然,该级数发散。即不绝对收敛M2??A(2)相对收敛性:(A-D判别法) <1>{an}收敛于0,?bn有界<2>{an}有界,?an收敛满足上述任意一个条件?anbn收敛

1??12sinn?sinn?(积化和差)??11n?2cosn?2cos22lnlnn1lim?lim?0(L'Hospital法则) n??lnnn??lnn根据Dirichlet判别法,知该级数收敛??cos

五、计算I??(y2?z)dx?(x?2yz)dy?(x?y2)dz,其中Γ为曲线

?2222??x?y?z?a,z?0,0?2b?a,从z轴的正方向看过去,Γ是逆时针方向 ?22??x?y?2bx解:(利用奇偶性做)

?x?a2?z2cos???22?y?a?zsin?,代入方程得到?z?z????dx??4bcos?sin?d???2yd??x?2bcos2??????2y?2bcos?sin???[?,]???dy?2b(1?2sin?)d??2(x?b)d?22??22228bcos?sin?4byz?a?4bcos???dz?d??d?222z?a?4bcos??I??(y2?z)dx?(x?2yz)dy?(x?y2)dz????2?xdy,(利用奇偶性,第一第三个积分为0)?2

??b2??(cos2??1)cos2?d2??b??cos2?2?2?2?d??b2?1?cos2?d2??b2???4?

六、设f(x)在[0,1]上变号,且为连续函数,求证:minf(x)???|f'(t)|dt

[0,1]01证明:(画出函数图像,分两段讨论:) 利用介值定理,取??[0,1],??inf{x|f(x)?0},不难证明f(?)?0

(1)xmin?[0,?]?f(x)min???(2)xmin?[?,1]?f(x)min????xminf'(t)dt?????xmin|f'(t)|dt???|f'(t)|dt

0101xminf'(t)dt???xmin|f'(t)|dt???|f'(t)|dt七、证明含参变量反常积分???0sinxydy在[?,??]上一致收敛,其中δ>0,但是

x(1?y)在(0, ??)内不一定一致收敛。 证明:

(1)???0?Msinysinxy1??sinxydy??dxy?lim?dy00M???x(1?y)xx?xyx?y?2根据定义,???0,?N?2,?M?N?1Msiny1|?dy|?xNx?yx?1x?MNMMsiny11dysinydy?2dy22??NN(x?y)x(x?y) M?N11???。(利用了Cauchy-Schwarz不等式)MN?N??(2)?0sinxydy在[0,??]不一致收敛x(1?y)反证法:根据Cauchy收敛准则,??>0,?N,?M?N,当x?xM?M时sinydyMsinxyxMsiny?xMxNyM|?dxy|?dy?ydyNx?xyxNx?y?M2?MNxNM1?M??????xxxx1?M当M足够大时,上式显然不成立,矛盾。故原命题成立

八、在底面半径为a,高为h的正圆锥内作长方体,其一面与圆锥地面重合,对面

四个顶点在锥面上,求长方体的最大体积。 解:

首先,由于顶点所在的平面和圆锥的交线为一个圆A,四个顶点组成在圆上。所以,易知长方体的底面中点和圆锥底面的中点重合。另外,顶面的长方形对角线为圆A的直径d,即为定值。1S顶?sin??d2,当且仅当底面为正方形的时候取到。2不妨设,高为h'12?V?Sh'?dh'顶?2122a?dhddhdd8a2h?3?V?d(h)?(2a?d)?(??(2a?d))??122aa22a2227?h?h'2d??a?h本题还可以用Lagrange乘子法解决。但是,我觉得用初等方法也可以。我不用Lagrange乘子法用意是学习了高等数学不应该把初等数学方法忘记了。

九、设a?(0,1),f(x)在[0,a]上连续,在(0,a),在(0,a)内可导,以及在(0,a)

内取到最值,且满足f(0)=0,f(a)=a。证明:

1)???(0,a),使得f(?)?a?; 2)???(0,a),使得f'(?)?a

证明:1)命题有问题,取a=1/2,f(x)=5x-8x2

f(0)=0,f(1/2)=1/2 f(x)在5/16取到最值,但是f(x)-ax只在x=0,x=9/16等于0,与命题1矛盾。

2)构造函数g(x)?f(x)?ax。由于f(x)为连续函数,所以g(x)在[0,a]上为连续函数,且一致连续反证法:如果命题不正确,那么g(x)?0,x?(0,a)根据题设,存在??(0,a),使得f'(?)?0?g'(?)??a由于g(?)?0,加上一致连续的条件,存在?'??,g(?')?g(?)由于g(0)?0,利用连续性和介值定理,存在??(0,?'),g(?)?g(?)根据Rolle中值定理,得到??(?,?),g'(?)?0?f'(?)?a

括号里的是我的个人意见,主要是一些思路。本人水平不够,如果有错误,希望大家不吝指出,并恳请大家原谅。 希望大家继续支持bossh!

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