2017年广西贵港市中考数学试卷

由勾股定理得到关于a的方程是解题的关键,注意分两种情况.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.

26.(10分)(2017?贵港)已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC边上的一个动点,将△ABD沿BD所在直线折叠,使点A落在点P处.

(1)如图1,若点D是AC中点,连接PC. ①写出BP,BD的长;

②求证:四边形BCPD是平行四边形.

(2)如图2,若BD=AD,过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H,求PH的长. 【分析】(1)①分别在Rt△ABC,Rt△BDC中,求出AB、BD即可解决问题; ②想办法证明DP∥BC,DP=BC即可;

(2)如图2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延长BD交PA于M.设BD=AD=x,则CD=4﹣x,在Rt△BDC中,可得x2=(4﹣x)2+22,推出x=DN=

=

,由△BDN∽△BAM,可得=

,由此求出AE=

=

,推出

,由此求出AM,由△ADM

=由此即可

∽△APE,可得解决问题.

,可得EC=AC﹣AE=4﹣

【解答】解:(1)①在Rt△ABC中,∵BC=2,AC=4, ∴AB=∵AD=CD=2, ∴BD=

=2

=2

由翻折可知,BP=BA=2

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②如图1中,

∵△BCD是等腰直角三角形, ∴∠BDC=45°,

∴∠ADB=∠BDP=135°, ∴∠PDC=135°﹣45°=90°, ∴∠BCD=∠PDC=90°, ∴DP∥BC,∵PD=AD=BC=2, ∴四边形BCPD是平行四边形.

(2)如图2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延长BD交PA于M.

设BD=AD=x,则CD=4﹣x, 在Rt△BDC中,∵BD2=CD2+BC2, ∴x2=(4﹣x)2+22, ∴x=,

∵DB=DA,DN⊥AB, ∴BN=AN=

==

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在Rt△BDN中,DN=由△BDN∽△BAM,可得

∴=,

∴AM=2, ∴AP=2AM=4,

由△ADM∽△APE,可得

=

∴=,

=,

∴AE=

∴EC=AC﹣AE=4﹣

易证四边形PECH是矩形, ∴PH=EC=.

【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理.相似三角形的判定和性质、翻折变换、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考压轴题.

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