金堂中学高2014届理科数学周练(19)

y?ex?1. 213.7

n1n-1n-1n1n-1n-1nn

【解析】解:∵7+C n ?7+?+C n ?7=7+ C n ?7+?+C n ?7+1-1=(7+1)-1=8-1=

nn1nn-1n-1n-1n-1

(9-1)-1=9+(-1)1?C 9+?+(-1)C n 9+(-1).

n-1

显然,式子中,除了最后两项(-1)以外,其余的各项都能被9整除.

n-1

而由n为正奇数可得 (-1)=-2, 故所给的式子被9除所得的余数为7, 故答案为 7. 14.k?2 ,0?lnxy?0,即xy?1,可得

【解析】:因为正实数x,y满足lnx?lny?x?2y?22xy?22,

?k(x?2y)?x2?4y2x2?4y2(x?2y)2?444恒成立,即求(x?2y)?的最小k???(x?2y)?x?2yx?2yx?2yx?2y值,令t?x?2y,则t?22,令f(t)?t?所以t?22时,f(t)min?f(22)?22?4(t?22),则f(t)在[22,??)上递增,t422?2,?k?2.

15.①②④

322

【解析】∵f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0),∴f′(x)=3ax+2bx+c,f''(x)=6ax+2b, ∵f(x)=6a×(-″

bbb)+2b=0,∴任意三次函数都关于点(-,f(-))对称,即①正3a3a3a确;

∵任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,

∴存在三次函数f′(x)=0有实数解x0,点(x0,f(x0))为y=f(x)的对称中心,即②正确;

任何三次函数都有且只有一个对称中心,故③不正确;

2∵g(x)?1x3?1x2?5,∴g′(x)=x-x,g''(x)=2x-1, 3212令g''(x)=2x-1=0,得x=1111311251,∵g()=?()-×()-=-, 22322212211∴函数g(x)?1x3?1x2?5的对称中心是(,-), 321222∴g(x)+(g(1-x)=-1,

∴g(1)?g(2)?g(3)???g(2012)??1006.,故④正确. 2013201320132013答案第5页,总10页

故答案为:①②④. 16.(Ⅰ)6;(Ⅱ)4; 43610,所以sinB? 2分

88【解析】:(Ⅰ)因为cosB?又cos?ADC??115,所以sin?ADC? 4分 44所以sin?BAD?sin(?ADC??B)?sin?ADCcos?B?cos?ADCsin?B

?15101366 7分 ??(?)??48484ADBD3BD?,即,解得BD?2 ?sinBsin?BAD36684中

,

,

(Ⅱ)在?ABD中,由正弦定理,得10分 故

DC?2,从而在

?ADCAC2?AD2?DC2?2AD?DCcos?ADC

1?32?22?2?3?2?(?)?16,所以AC?4 14分

4517.(1);(2) 见解析. 12【解析】

试题解析:(1) 分别记甲对这四门课程考试合格为事件A,B,C,D,则“甲能修得该课程学分”的概率为P(ABCD)?P(ABCD)?P(ABCD),事件A,B,C,D相互独立,

3221322132115????????????. 433243324332127P(??0)?C30()3(2)1275715353P(??1)?C3()()2,P(??2)?C32()2(),P(??3)?C3() 1212121212P(ABCD)?P(ABCD)?P(ABCD)?因为?~B?3,所以E??3?,

?5?? 12??55?. 124答案第6页,总10页

18.(1)V?4022;(2);(3)存在点Q,使得AQ?BQ. 35【解析】

试题解析:(1)由该几何体的三视图知AC?面BCED,且EC=BC=AC=4 ,BD=1,

EFDCBA

1?(4?1)?4?10 21140∴V??S梯形BCED?AC??10?4?.

33340即该几何体的体积V为. 3分

3∴S梯形BCED?(2)解法1:过点B作BF//ED交EC于F,连结AF,

则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角. 5分 在△BAF中,∵AB=42,BF=AF=?16?9?5.

BF2?AB2?AF222∴cos?ABF?. ?2BF?AB5即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为22. 7分 5解法2:以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4)

z

????????∴DE?(0,?4,3),AB?(?4,4,0), ????????22∴cos?DE,AB???

5∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

CEDBy22. 5Ax(3)解法1:在DE上存在点Q,使得AQ?BQ. 8分 取BC中点O,过点O作OQ⊥DE于点Q,则点Q满足题设. 连结EO、OD,在Rt△ECO和Rt△OBD中

答案第7页,总10页

ECOB??2 COODCEO??DO B ∴Rt?ECO∽Rt?OBD ??

∵?EOC??CEO?90? ∴?EOC??DOB?90?

∴?EOD?90?. 11分 ∵OE?CE2?CO2?25,OD?OB2?BD2?5 ∴OQ?OE?OD25?5??2 ED5E∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切.切点为Q

∴BQ?CQ

Q∵AC?面BCED,BQ?面CEDB ∴BQ?AC ∴

CODBBQ?面ACQ 13分

∵AQ?面ACQ

A∴BQ?AQ. 14分 解法2: 以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

????????设满足题设的点Q存在,其坐标为(0,m,n),则AQ?(?4,m,n),BQ?(0,m?4,n) ????????EQ?(0,m,n?4),QD?(0,4?m,1?n)

∵AQ?BQ ∴m(m?4)?n?0 ①

2???????? ∵点Q在ED上,∴存在??R(??0)使得EQ??QD

∴(0,m,n?4)??(0,4?m,1?n)?m?②代入①得(4?4??,n? ② 1??1????4216?)???2?8??16?0,解得??4 21??(1??)168,). 55∴满足题设的点Q存在,其坐标为(0,19.(I)an?2n?2;(II)详见解析.

试题解析:(I)?,an,Sn成等差数列, ?2an?Sn?121 1分 2答案第8页,总10页

11,?a1? 2分 2211当n?2时,Sn?2an?,Sn?1?2an?1?,

22当n?1时,2a1?a1?两式相减得:an?Sn?Sn?1?2an?2an?1,?所以数列an?是首项为an?2 5分 an?1?1,公比为2的等比数列,an?a1?2n?1?2n?2 7分 2(II)bn?log2a2n?1?log2a2n?3?log222n?1?log222n?1?(2n?1)(2n?1) 9分

111111???(?) 11分 bn2n?12n?122n?12n?11111111111??????[(1?)?(?)???(?)] b1b2b3bn23352n?12n?1?111(1?)? 14分 22n?1220.(1)由g(n)?k,当n=0时,由题意,可得k=8,所以f(n)?(100?10n) n?18n?1)?100n?1000?80

(10?8n?1)?100n. (2)由f(n)?(100?10n)(10?9n?1(n?10n?1)?1000?80(n?1?)?1000?80?29?520.当且仅当n?1

?9n?1,即n=8时取等号,所以第8年工厂的利润最高,最高为520万元

21.(Ⅰ)函数f(x)的不动点为x??1,x?(Ⅱ)0?a?2 (Ⅲ)实数b的取值范围[?【解析】 试题分析:

1。 21,0). 2解:(Ⅰ) 当a?2,b?1时,f(x)?2x?2x?1, 解2x?2x?1?x,得x??1,x?221。 2答案第9页,总10页

所以函数f(x)的不动点为x??1,x?1。 2 (Ⅱ)因为 对于任意实数b,函数f(x)恒有两个不同的不动点, 所以,对于任意实数b,方程f(x)?x恒有两个不相等的实数根, 即方程ax?(b?1)x?b?2?x恒有两个不相等的实数根, 所以 ?x?b2?4a(b?2)?0,

即 对于任意实数b,b2?4ab?8a?0,

所以 ?b?(?4a)2?4?8a?0,解得 0?a?2

(Ⅲ)设函数f?x?的两个不同的不动点为x1,x2,则A?x1,x1?,B?x2,x2? 且x1,x2是ax?bx?b?2?0的两个不等实根, 所以x1?x2??22b a直线AB的斜率为1,线段AB中点坐标为(?bb,?) 2a2a因为 直线y?kx?1是线段AB的垂直平分线, 2a?1bb1,?)在直线y?kx?2上 2a2aa?1所以 k??1,且(?则 ?bb1??2 a?(0,2) 2a2aa?1a111?????? 当且仅当a?1?(0,2)时等号成立 21a?121a?2a?aa所以 实数b的取值范围[?

所以b??又 b?01,0). 2答案第10页,总10页

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