小学+初中+高中+努力=大学
高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题教师用书 理 苏
教版
?ππ?1.(2016·江苏镇江中学质检)已知函数y＝2sin ωx(ω>0)在?－，?上的最大值为2，?34?
则ω的值是________. 答案 1
Tπ2π
解析 由题意得>，即T>π，从而>π，
44ω
π
即0<ω<2，故函数在x＝时取得最大值，
4ππ2
即2sin(ω)＝2，也即sin(ω)＝，
442ππππ
又ω∈(0，)，故ω＝， 4244解得ω＝1.
2.在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝答案 45°
解析 由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B， ∴tan B＝3tan A，∴0°＜A<90°，0° 5tan A＋tan B∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即＝－2， 1－tan Atan B4tan A将tan B＝3tan A代入，得＝－2， 21－3tan A1 ∴tan A＝1或tan A＝－，而0°＜A＜90°，则A＝45°. 3 5， 5 5 ，则A＝________. 5 PA2＋PB2 3.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________. PC2答案 10 解析 将△ABC的各边均赋予向量， 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 PA2＋PB2PA2＋PB2则＝ PC2→2 PC＝ →→PC＋CA2 →→ PC→→＋PC＋CB→2 2 →2→→→→→2→22PC＋2PC·CA＋2PC·CB＋CA＋CB＝ →2 PC＝ →2→2|PC|＋2PCCA＋CB＋|AB|2 →2|PC| →→→ →2→2→2→22|PC|－8|PC|＋|AB||AB|＝＝－6 →2→2|PC||PC|＝4－6＝10. 4.(2016·天津改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，→→ 连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为________. 1答案 8 →→→ 解析 如图所示，AF＝AD＋DF. 2 又D，E分别为AB，BC的中点， →1→ 且DE＝2EF，所以AD＝AB， 2→→→1→1→3→DF＝DE＋EF＝AC＋AC＝AC， 244→1→3→ 所以AF＝AB＋AC. 24→→→ 又BC＝AC－AB， →→?1→3→?→→则AF·BC＝?AB＋AC?·(AC－AB) 4??21→→1→23→23→→ ＝AB·AC－AB＋AC－AC·AB 2244 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 3→21→21→→＝AC－AB－AC·AB. 424 →→ 又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°， 11→→311 故AF·BC＝－－×1×1×＝. 42428 π 5.(2017·江苏如东中学月考)若函数f(x)＝sin(ωπx－) (ω>0)在区间(－1，0)上有且 4仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是________. 5答案 4 ππ4k＋3 解析 令ωπx－＝kπ＋，则得x＝(k∈Z)， 424ω 1 ∴当k＝－1时，得y轴左侧第1条对称轴为－；当k＝－2时，得y轴左侧第2条对称轴 4ω515155为－，因此－1<－<0且－1≥－，解得<ω≤，故ωmax＝. 4ω4ω4ω444 题型一 三角函数的图象和性质 ππ2ωx例1 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos，x∈R(其中ω>0). 662(1)求函数f(x)的值域； π (2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x) 2的单调增区间. 解 (1)f(x)＝＝2(3131 sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1) 2222 31π sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1. 226 π 由－1≤sin(ωx－)≤1， 6π 得－3≤2sin(ωx－)－1≤1， 6所以函数f(x)的值域为[－3，1]. (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π， 小学+初中+高中+努力=大学