绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1?2i1．?
1?2i43433434A．??i B．??i C．??i D．??i
555555552．已知集合A?{(x,y)|x2?y2?3,x?Z,y?Z}，则A中元素的个数为
A．9 B．8 C．5 D．4
ex?e?x3．函数f(x)?的图象大致为
x2
4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4
22B．3 C．2 D．0
5．双曲线
xy??1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为 a2b2B．y??3x
C．y??2x 2A．y??2x 6．在△ABC中，cosA．42 D．y??3x 2C5，BC?1，AC?5，则AB? ?25开始B．30 C．29 111117．为计算S?1??????，设计了右侧的程
23499100在空白框中应填入 A．i?i?1
B．i?i?2
第 1 页 共 26 页 5 T?0D．N2?0,i?1是1ii?100否序框图，则
N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?1C．i?i?3 D．i?i?4
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
1111 B． C． D． 121415189．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
A．
551A． B． C．
65510．若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a的最大值是
D．2 2ππ3π B． C． D．π 42411．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，
A．
则f(1)?f(2)?f(3)??f(50)? A．?50 B．0 C．2 D．50
x2y2312．已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为6ab的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的离心率为 211 B． C． 323二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为__________．
A．D．
1 4?x?2y?5≥0,?14．若x,y满足约束条件?x?2y?3≥0,则z?x?y的最大值为__________．
?x?5≤0,?15．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为
面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15．
第 2 页 共 26 页
7，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的8（1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,???30.4?13.5t；根据2010,17）建立模型①：y??99?17.5t． ,7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）
设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8． （1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 20．（12分）
如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22， PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．
P（1）证明：PO?平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值． 21．（12分）
已知函数f(x)?ex?ax2．
（1）若a?1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．
第 3 页 共 26 页
ABOMC