e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；
4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，
416a316a316a31?1??0． 由（1）知，当x?0时，e?x，所以h(4a)?1?4a?1?2a2?1?e(e)(2a)4ax2故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．
e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．
422．．解：
x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为??1．
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??23．解：
4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率k?tan???2．
1?3cos2??2x?4,x??1,?（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,
??2x?6,x?2.?可得f(x)?0的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．
而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是(??,?6][2,??)．
21（12分）
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已知函数f(x)?ex?ax2．
（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a． 解：
（1）f?(x)?ex?2x，f??(x)?ex?2．
当x?ln2时，f??(x)?0，当x?ln2时，f??(x)?0，所以f?(x)在(??,ln2)单调递减，在(ln2,??)单调递增，故f?(x)?f?(ln2)?2?2ln2?0，f(x)在(??,??)单调递增．
因为x?0，所以f(x)?f(0)?1．
ex（2）当x?0时，设g(x)?2?a，则f(x)?x2g(x)，f(x)在(0,??)只有一个零点等价于g(x)在
x(0,??)只有一个零点．
ex(x?2)g?(x)?，当0?x?2时，g?(x)?0，当x?2时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,2)单调递减，
x3e2在(2,??)单调递增，故g(x)?g(2)??a．
4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)没有零点．
4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)有唯一零点x?2．
4ex1e2x2若a?，因为g(2)?0，由（1）知当x?0时，e?x?1，g(x)?2?a?2?1?a，故存在
xx4x1?(0,1)?(0,2)，使g(x1)?0． a?1e4ae4ag(4a)??a??a ex?x2 2216a16a
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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∩B＝（ ） A．（﹣∞，1）
B．（﹣2，1）
C．（﹣3，﹣1）
D．（3，+∞）
2
2．（5分）设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 3．（5分）已知A．﹣3
B．第二象限 ＝（2，3），
B．﹣2
＝（3，t），|
C．第三象限 |＝1，则C．2
?
D．第四象限 ＝（ ）
D．3
4．（5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
+
＝（R+r）
．
设α＝．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α，则r的近似值为（ ）
3
A．R B．R C．R D．R
5．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A．中位数
B．平均数
C．方差
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D．极差
6．（5分）若a＞b，则（ ） A．ln（a﹣b）＞0
B．3＜3
a
b
C．a﹣b＞0
33
D．|a|＞|b|
7．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
8．（5分）若抛物线y＝2px（p＞0）的焦点是椭圆A．2
B．3
C．4
，
2
+＝1的一个焦点，则p＝（ ）
D．8
）单调递增的是（ ）
D．f（x）＝sin|x|
9．（5分）下列函数中，以A．f（x）＝|cos2x|
为周期且在区间（
B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x|
10．（5分）已知α∈（0，A．
B．
），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）
C．
D．
11．（5分）设F为双曲线C：
2
2
2
﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆
与圆x+y＝a交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ） A．
B．
C．2
D．
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，]
B．（﹣∞，]
C．（﹣∞，]
D．（﹣∞，]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．
14．（5分）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣e．若f（ln2）＝8，则a＝ ． 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝为 ．
16．（5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱
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ax
，则△ABC的面积