e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；
4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，
416a316a316a31?1??0． 由（1）知，当x?0时，e?x，所以h(4a)?1?4a?1?2a2?1?e(e)(2a)4ax2故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．
e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．
422．．解：
x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为??1．
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??23．解：
4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率k?tan???2．
1?3cos2??2x?4,x??1,?（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,
??2x?6,x?2.?可得f(x)?0的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．
而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是(??,?6][2,??)．
21（12分）
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已知函数f(x)?ex?ax2．
（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a． 解：
（1）f?(x)?ex?2x，f??(x)?ex?2．
当x?ln2时，f??(x)?0，当x?ln2时，f??(x)?0，所以f?(x)在(??,ln2)单调递减，在(ln2,??)单调递增，故f?(x)?f?(ln2)?2?2ln2?0，f(x)在(??,??)单调递增．
因为x?0，所以f(x)?f(0)?1．
ex（2）当x?0时，设g(x)?2?a，则f(x)?x2g(x)，f(x)在(0,??)只有一个零点等价于g(x)在
x(0,??)只有一个零点．
ex(x?2)g?(x)?，当0?x?2时，g?(x)?0，当x?2时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,2)单调递减，
x3e2在(2,??)单调递增，故g(x)?g(2)??a．
4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)没有零点．
4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)有唯一零点x?2．
4ex1e2x2若a?，因为g(2)?0，由（1）知当x?0时，e?x?1，g(x)?2?a?2?1?a，故存在
xx4x1?(0,1)?(0,2)，使g(x1)?0． a?1e4ae4ag(4a)??a??a ex?x2 2216a16a
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
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2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 <