三角函数与平面向量综合测试题
一、选择题：
1．下列函数中，周期为
?2的是（ ） A．y?sinx2 B．y?sin2x C．y?cosx4 D．y?cos4x
2．设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则（ ） A.PA?PB?0 B.PC?PA?0 C.PB?PC?0 D.PA?PB?PC?0
3. 已知向量a?(1,1),b?(2,x),若a+b与4b?2a平行，则实数x的值是（ ） A．-2
B．0 C．1
D．2
4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA?OB?OC?0，那么（ ）Ａ．AO?OD Ｂ．AO?2OD Ｃ．AO?3OD Ｄ．2AO?OD
5. 若函数f(x)=
3sin
12x, x∈[0, ?3], 则函数f(x)的最大值是( )A.12 B.23 C.232 D.2
6. (1+tan250)(1+tan200
)的值是 ( )A.-2 B.2 C.1 D.-1
7. ?、?为锐角a=sin(???)，b=sin??cos?，则a、b之间关系为 （ ） A．a＞b B．b＞a C．a=b D．不确定
8. 同时具有性质“①最小正周期是?，②图象关于直线x????3对称；③在[?6,3]上是减函数”的一个函数是（ ）
A．y?sin(x???2?6) B．y?cos(2x?6) C．y?sin(2x?6) D．y?cos(2x??3) 9. f(x)?Asin(?x??)（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则 （ ） A．f(x?1)一定是奇函数 B．f(x?1)一定是偶函数
C．f(x?1)一定是奇函数 D．f(x?1)一定是偶函数
10. 使y?sin?x（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）
A．52?
B．54? C．π
D．32?
11、在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，AB?2i?j，AC?3i?kj，则k的可能值有 ( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
12. 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 （ ）
（A）23 （B）463 （C）3174 （D）2213 二、填空题：
13．设两个向量ｅ1,ｅ2 ，满足|ｅ1|＝2,|ｅ2|＝1,ｅ1,ｅ2 的夹角为60°,若向
量2tｅ1+7ｅ2 与向量ｅ1+ tｅ2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为.
14．若sin?－cos??75，?∈（0，π），则tan?= . 15. 如右图，在 ?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是边BC上一点，DC?2BD,则AD?BC?__________.
A
16．下面有五个命题： ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?. B D C ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=k?2,k?Z|.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数y?3sin(2x???3)的图象向右平移6得到y?3sin2x的图象. ⑤函数y?sin(x??2)在〔0，?〕上是减函数. 其中真命题的序号是 （（写出所有真命题的编号））
三.解答题：
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，
a＝3，cos B＝2?
3.(1)求b的值；(2)求sin??2B－π3???的值．
18. 已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1,x?R. (I)求函数f(x)的最小正周期；
(II)求函数f(x)在区间????8,3??4??上的最小值和最大值.
19．设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) （1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值; （3）若tan?tan??16，求证：a∥b
20. 若函数f(x)?sinx?3cosx?a在(0, 2π)内有两个不同零点?、?. (Ⅰ)求实数a的取值范围; (Ⅱ)求tan(???)的值.
21. 一海监船发现在北偏东45?方向,距离12 nmile的海面上有一敌船正以10 nmile/h的速度沿东
偏南15?方向逃窜.海监船的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该敌船,海监船应沿北偏东45???的方向去追,.求追及所需的时间和?角的正弦值. 北 C 东 B A
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)?cos2??π?1?x?12??，g(x)?1?2sin2x．
（I）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值． （II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间．
三角函数与平面向量综合测试题参考答案
1. D 2. B3. D 4．A5. D 6. B 7. B 8．D 9. D 10. A 11. B12. D 13．
t 的取值范围是 (-7,-142)?(-1412,?2) 14．?43或?34 15.?8316．① ④
17.【解】 (1)在△ABC中，由
asin A＝
b
sin B，可得bsin A＝asin B.
又由bsin A＝3csin B，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1. 由b2＝a2＋c2－2accos B，cos B＝2
3，可得b＝6. (2)由cos B＝25
3，得sin B＝3，进而得 cos 2B＝2cos2B－1＝－1
9， sin 2B＝2sin BcosB＝45
9，
所以sin??π?2B－3??ππ?＝sin 2Bcos 3－cos 2Bsin3 ＝45＋3
18.
18.【分析】f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1?sin2x?cos2x?2sin??2x????4??. 因此，函数f(x)的最小正周期为?. (II)解法一：因为f(x)?2sin??2x??????4??在区间??8,3???3?3??8??上为增函数，在区间??8,4??上为减函数，
又
f?????8??0,f??3?????2,f??3???4???2sin??3??????8?2?4????2cos4??1,
故函数f(x)在区间???,3???88??上的最大值为2,最小值为?1.
解法二：作函数f(x)?2sin??2x????4???9???在长度为一个周期的区间??8,8??上的图象如下：
由图象得函数f(x)在区间???,3??上的最大值为2,最小值为f??84???3???4????1. 【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数
y?Asin(?x??)的性质等基础知识，考查基本运算能力.
19．(1)由a与b?2c垂直，a?(b?2c)?a?b?2a?c?0，
即4sin(???)?8cos(???)?0，tan(???)?2；…………………4分
(2)b?c?(sin??cos?,4cos??4sin?)
|b?c|2?sin2??2sin?cos??cos2??16cos2??32cos?sin??16sin2?
?17?30sin?cos??17?15sin2?，最大值为32，
所以|b?c|的最大值为42。……………………8分
(3)由tan?tan??16得sin?sin??16cos?cos?，
即4cos??4cos??sin?sin??0，
所以
a∥b. w.w.w.k.s.5 .u.c.o.m ……………………12分
20.解: (Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(
12sinx+3?2cosx)=2 sin(x+3),
而函数f(x)?sinx?3cosx?a在(0, 2π)内有两个不同零点等价于关于x的方程