新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）
典题精讲
例1（1）已知0＜x＜（2）求函数y=x+
1，求函数y=x(1-3x)的最大值; 31的值域. x思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.
1,∴1-3x＞0. 3113x?(1?3x)211∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成
33212611立.∴x=时，函数取得最大值.
61211解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.
331x??x11113∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立. 31236211∴x=时，函数取得最大值.
612（1）解法一：∵0＜x＜
（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+
11≥2x?=2，当且仅当x=1时，等号成立. xx当x＜0时，y=x+
11=-［(-x)+］. x(?x)∵-x＞0,∴(-x)+
11≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.
?x(?x)∴y=x+
1≤-2. x1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). x综上,可知函数y=x+
绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.
1的最小值. x?11思路分析：x＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.
x?1变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+
解：∵x＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+
111=x+1+-1≥2(x?1)?-1=1. x?1x?1(x?1)1,即x=0时,取得等号. x?1当且仅当x+1=∴f(x)min=1.
x4?3x2?3变式训练2求函数y=的最小值.
x2?1思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.
x4?3x2?3(t?1)2?3(t?1)?3t2?t?11??t??1. ∴y==
tttx2?1∵t≥1,∴t+≥2t?1t11=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.
tt19+=1，求x+y的最小值. xy∴当x=0时，函数取得最小值3. 例2已知x＞0,y＞0，且
思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会. 解法一：利用“1的代换”, ∵
19+=1, xy∴x+y=(x+y)·(
y9x19+)=10+?. xyxyy9x?≥2xy∵x＞0,y＞0,∴
y9x=6. ?xy当且仅当
y9x?，即y=3x时，取等号. xy又
19+=1,∴x=4,y=12. xy
∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 解法二：由
y19+=1，得x=. xyy?9∵x＞0,y＞0,∴y＞9. x+y=
yy?9?999+y=y+=y++1=(y-9)++10.
y?9y?9y?9y?9∵y＞9,∴y-9＞0. ∴
y?9?99≥2(y?9)?=6.
y?9y?9当且仅当y-9=
9，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解y?9法三：由
19+=1，得y+9x=xy, xy∴(x-1)(y-9)=9.
∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2(x?1)(y?9)=16, 当且仅当x-1=y-9时取得等号.又
19+=1, xy∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.
绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响. 黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：
1969+≥2①,即≤1,∴xy≥6. xyxyxy∴x+y≥2xy≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是
19=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同xy一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.