高中数学常用公式及常用结论
数学
高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式
CU(AB)?CUACUB;CU(AB)?CUACUB.
3.包含关系
AB?A?AB?B?A?B?CUB?CUA
?ACUB???CUAB?R
4.容斥原理
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)
card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)
?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC).
5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).
7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式 N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0
M?NM?Nf(x)?N|??0 ?22M?f(x)11?. ?f(x)?NM?N?|f(x)?8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax2?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于
f(k1)f(k2)?0,或f(k1)?0且k1??k1?k2b???k2. 22ak?k2b?12a2,或f(k2)?0且
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在
x??b处及区间的两端点处取得，具体如下： 2ab??p,q?2a(1)当a>0时，若
x??，则
f(x)min?f(?x??b),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2ab??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2ab(2)当a<0时，若x????p,q?，则f(x)min?min?f(p),f(q)?，若
2abx????p,q?，则f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.
2a10.一元二次方程的实根分布
依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 .
设f(x)?x2?px?q，则
（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或
?p2?4q?0?； ?p???m?2（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或
?f(m)?0?f(n)?0??f(m)?0?f(n)?0?2或或； ???p?4q?0?af(n)?0?af(m)?0??m??p?n??2（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或?p2?4q?0? . ?p???m?211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L).
(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L).
?a?0?(3)f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要条件是?b?0或
?c?0??a?0. ?2?b?4ac?0