21.2专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用
一、一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解方程： (1)(4x－1)2＝225；
7
解：x1＝4，x2＝－
2
1
(2)(x－2)2＝8； 3
解：x1＝2＋26，x2＝2－26
(3)9x2－6x＋1＝9；
42
解：x1＝，x2＝－
33
(4)3(2x＋1)2－2＝0.
1616解：x1＝－＋，x2＝－－
2626
2．用配方法解方程： (1)2t2－3t＝－1；
1
解：t1＝，t2＝1
2
(2)2x2＋5x－1＝0；
－5＋33－5－33
解：x1＝，x2＝
44
(3)(2x－1)(3x－1)＝3－6x；
12
解：x1＝，x2＝－
23
(4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：x1＝4，x2＝2
3．用公式法解方程： (1)x2＝6x＋1;
解：x1＝3＋10，x2＝3－10
(2)0.2x2－0.1＝0.4x；
2＋62－6
解：x1＝，x2＝
22
(3)2x－2＝2x2.
解：原方程无实数根
4．用因式分解法解方程： (1)(x－1)2－2(x－1)＝0； 解：x1＝3，x2＝1
(2)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)；
1
解：x1＝3，x2＝
4
(3)(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0. 解：x1＝x2＝3
5．用适当的方法解方程： (1)2(x－3)2＝x2－9； 解：x1＝3，x2＝9
(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；
－1＋6－1－6解：x1＝，x2＝
22
(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：x1＝1，x2＝－3
二、配方法的应用 (一)最大(小)值
6．利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值．
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解：－x2－x－1＝－(x＋)2－，∵－(x＋)2≤0，∴－(x＋)2－＜0，故结论成立．当
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13x＝－时，－x2－x－1有最大值－
24
7．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n. (1)求m，n的值；
(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？
解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5
(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5
(二)非负数的和为0
8．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．
解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝12
9．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．
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解：等式变形为a－6a＋9＋b－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)＋(b－4)＋c－5＝0，由非负性得(a－3)＝0，(b－4)＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵3＋4＝5，即a22
＋b＝c，∴△ABC为直角三角形
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