第2课时 等差数列前n项和的性质与应用
课后篇巩固探究
A组
1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-11,A.-11
B.11
C.10
=2,则S11=( )
D.-10
解析∵{an}为等差数列,∴为等差数列,首项=a1=-11,设的公差为d,则
=2d=2,∴d=1,∴=-11+10d=-1,∴S11=-11.
答案A 2.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8-S3=20,则S11的值为( )
A.44 B.22 C. D.88
解析由S8-S3=20,得a4+a5+a6+a7+a8=20,所以5a6=20,所以a6=4,故S11=答案A =11a6=44.
3.若Sn表示等差数列{an}的前n项和,,则=( )
A. B. C. D.
解析由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.∵,∴S10=3S5,∴S15=6S5,S20=10S5,
∴.
答案C 4.已知数列{an}为等差数列,a2=0,a4=-2,则其前n项和Sn的最大值为( ) A. B. C.1 D.0
解析因为a2=0,a4=-2,所以公差d=最大值为1. 答案C
=-1,所以a1=1.又a2=0,所以数列{an}的前n项和Sn的
1
5.在各项均不为零的等差数列{an}中,若an+1-+an-1=0(n≥2),则S2n-1-4n=( ) A.-2 解析由an+1-答案A B.0
C.1
D.2
+an-1=0,得=an-1+an+1=2an.因为{an}的各项均不为零,所以an=2,所以
S2n-1=(2n-1)an=4n-2,故S2n-1-4n=-2.
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则= .
解析=9.
答案9 7.已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是 .
解析由|a5|=|a9|,且d>0,得a5<0,a9>0,且a5+a9=0,即2a1+12d=0,即a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且为最小值. 答案6或7
8.若一个等差数列的前3项之和为34,最后3项之和等于146,所有项的和为390,则这个数列一共有 项.
解析设该数列为{an},Sn是其前n项和,则a1+a2+a3=34,an+an-1+an-2=146,两式相加,得(a1+a2+a3)+(an+an-1+an-2)=180,即3(a1+an)=180,于是a1+an=60.
而Sn==390,即=390,解得n=13.
答案13 9.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)求数列的前n项和Tn.
解(1)设{an}的公差为d,由题意,得
即
解得
2
所以Sn=3n+×(-1)=- n2+n.
(2)由(1),得=-n+,所以=- (n+1)+=-,
即数列是首项为=3,公差为-的等差数列,
故Tn=3n+10.项和.
=-n2+n.
导学号04994037在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n解等差数列{an}的公差d==3,
故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由an<0,得3n-63<0,即n<21.
故数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数. 设Sn,S'n分别表示数列{an},{|an|}的前n项和, 当n≤20时,S'n=-Sn
=-=-n2+n;
当n≥21时,S'n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
=-60n+×3-2×
=n2-n+1 260.
故数列{|an|}的前n项和为
S'n=
B组
1.在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则这个数列前30项的绝对值之和为( ) A.495 B.765 C.46 D.76
解析由已知可以判断数列{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63. ∵a1<0,d>0,a21=0,a22>0, ∴数列前30项的绝对值之和
为
3
S30-2S21=30×(-60)+答案B ×3-2×=765.
2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且正整数n有( ) A.2个 B.3个
C.4个
D.5个
,则使得为整数的
解析=7+.
当n=1,2,3,5,11时,答案D 为整数,即当n=1,2,3,5,11时,为整数.
3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,nSn+1>(n+1)Sn(n∈N),且<-1,则在Sn中( ) A.最小值是S7 C.最大值是S8
B.最小值是S8 D.最大值是S7
*
解析由nSn+1>(n+1)Sn,得,即>0.而,所以d>0.因为<-1,所以
<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7.
答案A 4.已知等差数列{an},Sn为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6= . 解析∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5. 答案5 5.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数k为 . 解析因为等差数列{an}的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对
称性及S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得,解得k=2 016.
答案2 016 6.已知数列{an}是以3为公差的等差数列,Sn是其前n项和,若S10是数列{Sn}中的唯一最小项,则数列{an}的首项a1的取值范围是 .
解析依题意,得答案(-30,-27)
解得-30 4