第1节 比较法创新应用
[核心必知]
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
作差比较法 要证明a>b，只要证明a－b>0 作商比较法 要证明a>b>0，只要证明＞1 要证明b＞a＞0，只要证明>1 作商→恒等变形→判断与1的大小→得出结论 定义 要证明a [问题思考] 1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明． abba实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2．作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明． 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与1的大小关系． 1 求证：(1)a＋b≥2(a－b－1)； 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)若a>b>c，则bc＋ca＋ab [精讲详析] 本题考查作差比较法的应用．解答本题的步骤为作差→因式分解→判断符号→得出结论． (1)a＋b－2(a－b－1) ＝(a－1)＋(b＋1)≥0， ∴a＋b≥2(a－b－1)． (2)bc＋ca＋ab－(bc＋ca＋ab) ＝(bc－ca)＋(ca－bc)＋(ab－ab) ＝c(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)， ∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)<0. ∴bc＋ca＋ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式 法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论． 2 1．(江苏高考)已知a≥b>0，求证：2a－b≥2ab－ab. 证明：2a－b－(2ab－ab)＝2a(a－b)＋b(a－b) ＝(a－b)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0 ，即2a－b≥2ab－ab. 3 3 2 2 2 23 3 2 2 2 2 2 2 3322 已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a. [精讲详析] 本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小． ∵a＞2，∴a－1>1. ∴loga(a－1)>0，log(a＋1)a＞0， loga（a－1）由于 log（a＋1）a＝loga(a－1)·loga(a＋1) ?loga（a－1）＋loga（a＋1）? ∵a＞2，∴0 2 2 2 2 2 ?loga（a－1）? 即 loga（a－1） ＜1. log（a＋1）a2 2 2 2 ∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a. —————————————————— (1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法． 3