单摆的研究
摘 要：本文通过单摆的特性，对实验实验数据分析研究单摆周期分别与摆长、摆角、摆球质量及摆球
体积间的关系。
关键词：单摆，等时性，振幅，摆长，摆角，摆球
早在1583年，年仅19岁，被誉为“近代科学之父”的伽利略以特有的好奇心和敏锐性，注视悬挂在教堂最顶端的大吊灯的运动──它的摆动时间在沿大弧、中弧和小弧摆动时是否相同……当大吊灯有规律地摆动时，……他利用自己脉搏的跳动，和自己擅长并熟练运用的音乐节拍……测算，他清楚地得出结论：时间完全一样。他对此仍不满足，回家以后……用两根同样长的线绳各系上一个铅球作自由摆动……他把两个摆拉到偏离竖直线不同的角度，例如30°和10°，然后同时放手。在同伴的协助下，他看到无论沿长弧和短弧摆动，两个摆在同一时间间隔内的摆动次数准确相等。他又另外做了两个相似的摆，只是摆长不同。他发现，短摆摆动300次时，长摆摆动40次（均在大角度情况下），在其他摆动角度（如小角度）下它们各自的摆动次数在同一时间间隔内与大角度时完全相同，并且多次重复仍然如此……他由此得出结论，看来无论对于重物体的快速摆动还是轻物体的慢摆动，空气的阻力几乎不起作用，摆长一定的单摆周期是相同的，与摆幅大小无关。他还看到，摆球的绝对重量或相对比重的大小都引不起周期的明显改变……只要不专门挑选最轻的材料作摆球，否则它会因空气阻力太大而很快静止下来。”
伽利略对偶然机遇下的发现，不但做了多次实测，还考虑到振幅、周期、绳长、阻力、重量、材料等因素。 1、实验过程 （1）实验原理
单摆是质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的小球悬于一端固定的长度为 L且不能伸长的细绳上，把小球拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度?小于5（摆长的
?1），放手后小球往复振动，可视为质点120 的振动，其周期 T只和摆长L和当地的重力加速度
g有关，而和小球的质量 、形状和振幅的大小
? mgsin? 都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆 。如果振动的角度大于 5°（摆长
1的），则振动的周期将随振幅的增加而变大，就12不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。
o? mmg 用一不可伸长的轻绳悬挂一个小球，作幅角?很小的摆动就是一单摆。设小球的质量为m，其质心到摆的支点
o的距离为l（摆长）。作用在小球上的切向力的大小为
mgsin?，它总指向平衡点o?，当?角很小时，则
sin??，切向力的确大小为mgsin?（如上图），按牛顿第二定律，质点的确运动方程为
ma切??mg? （1）
d2?ml2??mg? （2） dtd2?g 2??? （3）
dtl这是一简谐运动方程，可知该简谐振动角频率
?的平方等于gl，由此得出
??2??Tgl， T?2?。 （4） lg（2）操作步骤
1、检查实验仪器是否完整，调节仪器将仪器调成水平。 2、研究周期与摆长的关系：取一质量为
m摆球，测出其直径d，使摆角? 固定，
改变摆长l，改变六次，记录下相应的半周期的时间
3、研究周期与摆角的关系：取一质量为
t。
m摆球，测出其直径d，使线长l固/定，改
a，即摆c变摆角
?，方法：利用摆角与摆线的关系如右图：sin??角?固定（sin?固定），c为线长，则可以计算出a，即摆球偏离竖直方向的距离。换句话说：如果改变六次摆长，计算出相应的
a固定，摆长c固定，则可固定摆角?。
a，用米尺根据a固定好，每一次都来到
t
相同的位置，并记录下相应的半周期的时间
4、研究周期与摆球质量的关系：取不同质量mi的小球，选取直径差不多大小的小球，测出其直径di，固定其摆角?和摆长记录下相应的半周期的时间
l，逐次取小球进行实验，
t。
t。
5、研究周期与摆球体积的关系：取不同体积mi的小球，测出其直径di，固定其摆角?和线长l，逐次取小球进行实验，记录下相应的半周期的时间
6、实验完毕，整理好实验仪器。
2、实验结果与讨论 1、摆长L和周期T的关系
由实验测量所得数据和数据分析可得表一
表一 周期T与摆长L
0小球直径d?20.032mm 小球质量m?27.83g 摆角固定（小于5）
1 0.6170 0.627016 0.791843 1.65565 2 0.5622 0.572216 0.75645 1.5789 3 0.5110 0.521016 0.721814 1.5145 4 0.4660 0.476016 0.689939 1.44355 5 0.4140 0.424016 0.651165 1.3644 l/m iL/m iLTii /s 由上表数据用Excel作周期T与L的关系图如下：
1.7y = 2.0634x + 0.02112R = 0.99951.61.5系列1线性 (系列1)线性 (系列1)1.41.30.60.70.8
由图可知：周期T与L成线性关系。 直线截距周期T与
a?0.0211 斜率b?2.063 关联系数R?0.9995
2L有关系，由已有的知识，T?2?l，现在将上式的数据带入得直线方g程为T?a?bL?0.0068?2.083L，而T?2?l得T?2.007L。两式进行比g较，由实验计算出的斜率b与根据公式T?2?l得出的斜率相差不大。 g2、研究摆角?与周期T的关系
由实验测量所得数据和数据分析可得表二
表二 周期T与摆角?
摆线长l?60cm 小球直径d?20.032mm 小球质量m?27.83g
?Tii 5? 1.69365 4? 1.692 3? 1.69385 2? 1.69245 1? 1.692025 /s 由上表数据得图如下：
1.6941.69351.693系列11.69251.6921.69150123456
由图可知：周期T和摆角?的关系无规律可寻。而且随着摆角的变化，周期无太大的变化，变化均发生在0.001的范围内。 3、小球质量m与周期T的关系
由实验测量所得数据和数据分析可得表三
表三 质量m与周期T 摆角固定（小于5）
0m/g 27.83 11.14 T/s 1.65875 1.65778 由上表数据可知：当小球质量m改变较大时，周期T无太大的变化。 4、小球体积与周期T的关系
由实验测量所得数据和数据分析可得表四表四
摆球直径d与周期T d/mm 21.66 14.34 T/s 1.53365 1.54115 由上表数据可知：当小球体积改变较大时，周期T无太大的变化。 3、总结
1、单摆的周期与摆长的关系：
单摆在摆角较小（小于5）的情况下：周期T与摆长的L存在线性关系 2、单摆的周期与摆角的关系：
单摆在摆角较小（小于5）的情况下：改变单摆摆角，周期T并未较大改变，数值的误差属于实验测量偶然误差。故摆角?与周期T无关。 3、单摆的周期与摆球质量的关系：
单摆在摆角较小（小于5）的情况下：周期T与摆球的质量m无关。 4、单摆的周期与摆球体积的关系：
单摆在摆角较小（小于5）的情况下：周期T与摆球的体积无关。
参考文献
1、杨述武, 《普通物理实验 一力学及热学部分》, 高等教育出版社,（2000年），第三版。 2、龚镇雄、刘雪林.普通物理实验指导[M] .北京：北京大学出版社，1990.45—52。 3、赵家凤.大学物理实验[M] .北京：科学出版社，2003.48—50。
4、王云才、李秀燕.大学物理实验教程[M] .北京：科学出版社，2004.212。
PENDULUM STUDY Deng Rongchun
Honghe University, Yunnan Mengzi, 661100
Abstract: This article through the characteristic of pendulum,to analyse the experimental
????data and study the relationship among pendulum cycle respectively with cycloid length, swinging angle, swinging ball’s weight and swinging ball’s size.
Keywords: pendulum，isochronism，swing, cycloid length, swinging angle, swinging ball