本章要点：
第2章 质点运动学
1．质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速度； 2．质点运动的矢量性与瞬时性、相对性； 3．三种常用坐标下各运动学量的表达式； 4．解决运动学基本问题的方法； 5．相对运动及伽利略变换。
物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。
2.1 质点运动的描述
2.1.1 参考系 质点
1．参考系
在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系 。
２．质点
物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。
如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点。
质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。例如研究地球绕太阳公转时，由于地球
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至太阳的平均距离约为地球半径的 10 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。
应当指出, 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都有重要意义的。当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个物体的运动。所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础。
2.1.2 质点运动的矢量描述
１．位置矢量 运动方程 位移
（１）．位置矢量r
在参考系选定以后，为定量地描述质点的位置和位置随时间的变化，须在参考系上选择一个坐标系。
在如图２-１所示的直角坐标系中，在时间t，质点P在坐标系里的位置可用位置矢量r(t)来表示。位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点O，末端则与质点P在时刻t的位置重合。从图中可以看出，位矢r在ox轴、oy轴和oz轴上的投影(即质点的坐标)分别为x、y和z。所以，质点P在直角坐标系中的位置，既可以用位矢r来表示，也可以用坐标x、y和z来表示。那么位矢r亦可写成
r?xi?yj?zk （2-1）
其值为
r ?x2?y2?z2
位矢r的方向余弦由下式确定
cos??
yxz cos?? cosr? r r r
图2-1
(2)． 运动方程 当质点运动时，它相对坐标原点O的位矢r是随时间而变化的。因此，r是时间的函数，即 r?r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k （2-2）
式(2-2)叫做质点的运动方程；而x(t)、y(t)和z(t)则是运动方程的分量式，从中消去参数t便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。
应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。 （3）．位移
在如图2-2 O-xy平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻t1的点A运动到时刻t2的点B，质点相对原点O的位矢由rA变化到rB。显然，在时间间隔?t?t2?t1内，
位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点A指向终点B的有向线段AB称为点A到点B的位移矢量，简称位移。位移AB反映了质点位矢的变化。如把AB写作?r，则质点从A点到点B的位移为
?r?rB?rA （2-3a） 图2-2
?r?rB?rA?(xB?xA)i?(yB?yA)j
上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在x轴和y轴上的位移矢量和。
亦可写成
若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz中其位移为
?r?rB?rA?(xB?xA)i?(yB?yA)j?(zB-zA)k （2-3b）
应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在图 2-2 中,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的
长度为质点所经历的路程, 而位移则是?r。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有在△t 取得很小的极限情况下,位移的大小|?r|才可视为与路程 AB 没有区别。
２．速度
在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。
（1）．平均速度
如图２-３所示，一个质点在平面上沿轨迹CABD曲线运动。在时刻t，它处于点A，其位矢为r1(t)。在时刻t??t，它处于点B，其位矢为r2(t??t)。在?t时间内，质点的位移为?r?r2?r1。在时间间隔?t内的平均速度v为
v?r2?r1?r??t?t
平均速度可写成
v?
图2-3
?y?r?x?i?j?vxi?vyj?t?t?t
v和vy其中x是平均速度v在Ox轴和Oy轴上的分量。
（2 ）． 瞬时速度
当?t?0时，平均速度v的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用v表示，有
v?lim?rdr??t?0?tdt （2-4a）
或
v?lim?x?yi?limj?vxi?vyj?t?0?tΔt?0?t （2-4b）
dydx, vy?dtdt
其中
vx?vx和vy是速度v在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。
v 和 vy显然，如以x分别表示速度v在Ox轴和Oy上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有
v?vxi?vyj 上式亦可以写成
v?vx?vy
(2-4c)
速度v的方向与?r在?t?0时的极限方向一致。当?t?0时，?r趋于和轨道相切，即
与点A的切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向。如图２-４所示。
图2-4
只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢r和速度v是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运
动方程求解运动状态；另一是由已知运动状态求解运动方程。
例 设质点的运动方程为
r(t)?x(t)i?y(t)j
其中
x(t)?(1m?s?1)t?2m，
1y(t)?(m?s?2)t2?2m4
t?3s 求时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。
解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。
(1)由题意可得速度分量分别为
dxdy1vx??1m?s?1 , vy??(m?s?2)tdtdt2
故t?3s时的速度分量为
vx?1m?s?1和vy?1.5m?s?1
t?3s于是时，质点的速度为
v?(1m?s?1)i?(1.5m?s?1)j?1
速度的值为v?1.8m?s，速度v与x之间的夹角为
??arctg(2)由已知运动方程
1.5?56.3o1
消去t可得轨迹方程
图2-5
1 y?(m-1)x2?x?3 m4 并可作如图２-５所示的质点运动轨迹图。
1x(t)?(1m?s?1)t?2m, y(t)?(m?s-2)t2?2m4
３．加速度
上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。
（1）．平均加速度 如图２-６所示，设在时刻t，质点位于点A，其速度为v1，在时刻t??t，质点位于点B，其速度为v2，则在时间
间隔?t内，质点的速度增量为?v?v2?v1，它在单位时间
内的速度增量即平均加速度为 图2-6
?va??t
（２）．瞬时加速度
当?t?0时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用a表示，有
?vdva?lim??t?0?tdt （2-5）
a的方向是?t?0时?v的极限方向，而a的数值是 ?v/?t 的极限值。
应当注意，加速度a既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作
曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线的凹侧。
式(２-5)可以写成
da?(vxi?vyj)dt
即
a?axi?ayj?ax?aydvydvx, ay?dtdt
（2-6）
其中
ax?例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为
v0?(10m?s?1)j，它在液体中的
?1加速度为a?(?1.0s)vj。问:(1)任一时刻t的球体的速度。(2)时刻t球体经历的路程有多长？
解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度a的方向与球体的速度v的方向相反，由加速度的定义，有
dva??(?1.0s?1)vdt 得 vdv t?1?(?1.0s)? v0v? 0 dt
有
v?v0e(?1.0s?1)t