上式表明，球体的速率v随时间t的增长而减小。 又由速度的定义，有
v?
?1dy?v0e(?1.0s)tdt
得
y?10[?? y 0dy?v0?e(?1.0s 0 t?1)tdt
?1?11(e(?1.0s)t?1)]m?10[1?e(?1.0s)t]m1.0
2.1.3 几种常用的坐标
１．直角坐标
二维直角坐标的正交归一基矢是 (i,j),(i,j) 分别是沿直角坐标轴x、y方向的单位矢量 。在直角坐标下 ,
r?xi?yj
dy???x??y?dxi?j
dtdta?ax?ay2d2ydx?2i?dt2j dt?2?2例 一质点具有恒定加速度a?(6m?s)i?(4m?s)j，在t?0时，其速度为零，位置
矢量r0?(10m)i。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在Oxy平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。
解：由加速度定义式，根据初始条件t0 = 0时v0 = 0，积分可得
?v0dv??adt??[(6m?s?2)i?(4m?s?2)j]dt00ttv?(6m?s?2)ti?(4m?s?2)tj
图2-7 又由
v?drdt及初始条件t = 0时，r0 = (10 m)i，
积分可得
?r0dr??vdt??[(6m?s?2)ti?(4m?s?2)tj]dt00tt
r?[10m?(3m?s?2)t2]i?[(2m?s?2)t2]j
由上述结果可得质点运动方程的分量式，即
?22 x?10m??3m?s?t
y?2m?s?2t2??
消去参数t，可得运动的轨迹方程
3y?2x?20m
这是一个直线方程，直线斜率
k?dy2?tan??dx3。
图2-8
2．平面极坐标
设有一质点在如图2-8所示Oxy平面内运动，某时刻它位于点A。由坐标原点O到点A的有向线段r称为径矢，r与Ox轴之间的夹角为?。于是，质点在点A的位置可由(r,?)来确定。这种以(r,?)为坐标的参考系称为平面极坐标系。而在平面直角坐标系内，点A的坐标则为(x,y)。这两个坐标系的坐标之间的变换关系为: x?rcos? 和 y?rsin?
?称为角坐标，它是时间 t 的函数，即?＝?（t）, ω?dθ为角速度，在圆周运动下,
dtν?rω。
3．自然坐标
（１）．自然坐标
一般来说，质点平面运动需用两个独立的变量（是标量）描述，如在平面直角坐标系中就是用x、y来描述，但质点又有其运动轨迹y=y(x)，则x、y间只有一个是独立的。这就是说，在已知质点轨迹的前提下，质点的平面运动仅需一个标量函数就能确切描述质点的运动状况。这里，我们既不选择x,也不选择y充当这一描述运动的标量函数，而是选用另一种所谓“自然坐标”。
在已知运动轨迹上任选一点0为原点，沿质点的轨迹为“坐标轴”（当然是弯曲的），原点至质点位置的弧 图2-9
长 s 作为质点的位置坐标，弧长 s 称为平面自然坐标，它确定质点的位置，并在质点
所在处Ａ取一单位矢量沿曲线切线且指向自然坐标增加方向的矢量et，称为切向单位矢量，另取一单位矢量，沿曲线的法向且指向曲线的凹侧的矢量en，称为法向单位矢量。下面以
圆周运动为例。
（2）．切向速度
如图2-9所示，质点在圆周上点A的速度为v，于是点A的速度v可以写成
v?vet （2-7）
式中v为速度v的值，et则代表速度v的方向。 （3）．切向加速度和法向加速度
在圆周上任意点的加速度为
dedvdva??et?vtdtdtdt （2-8）
dvet式(2-8)中第一项dt，是由于速度大小的变化而引起的，其方向为et的方向，即与速度v
的方向相同。因此，此项加速度分矢量称为切向加速度，用at表示，
dvdω?rdt 另外，可得 dt式中d?/dt为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号?表示，有 dωd2????2dtdt （2-9）
角加速度?的单位为rad?s， 则切向加速度
at?r?et （2-10）
?2
图2-10
式(2-8)中的第二项det/dt，则表示切向单位矢量随时间的变化。这一点从图2-10(a)中
可以看出。设在时刻t，质点位于圆周上点A，其速度为v1，切向单位矢量为et1；在时刻t??t，质点位于点B，速度为v2，切向单位矢量为et2。在时间间隔?t内，径矢r转过的角度为??，速度增量为?v，切向单位矢量的增量则为?et?et2?et1。由于切向单位矢量的值为1，即 et1 ? et2 ?1，因而，从图(b)可以知道
?et ????1???。当?t?0时，??亦趋于零，
这时?et的方向趋于与et1垂直，即趋于与v1垂直，并且趋于指向圆心。如果，我们在沿径矢而指向圆心的法线方向上取单位矢量即法向单位矢量en (如上图)，那么，在?t?0时，?et/?t的极限值为
?etdetd???en?t?0?tdtdt lim 这样，式(2-8)中第二项可以写成
v 由于这个加速度的方向是垂直于切向的，故叫做法向加速度，用an表示，有
d? （2-11a）
考虑到??d?/dt, v?r?故上式为
v2v22an?r?en?en, a n ?rr （2-11b）
由式(2-10)和式(2-11b)，可将质点作变速圆周运动时的加速度的表达式(2-8)写成 dvv2a?at?an?et?endtr （2-12a） 或
a?r?et?r?2endetd??vendtdt
enan?vdt (2-12b)
其中切向加速度at是由于速度数值的变化而引起的，法向加速度an则是由于速度方向的变化而引
起。
在变速圆周运动中，由于速度的方向和大小都在变化，所以加速度a的方向不再指向圆心(图2-11)，其值和方向为
a212a?(at2?an), tg??nat
图2-11
上述结果虽然是从变速圆周运动中得出的，但对于一般的曲线运动，式(2-10)、(2-11)仍然适用。此时可以把一段足够小的曲线看成是一段圆弧。这样包含这段圆弧的圆周就被称为曲线在给定点的曲率圆，从而可用曲率半径?来替代圆的半径r。
vA?1940km?h?1A例 如图２-１２所示，飞机在高空点时的水平速率为，沿近似于圆
?1弧的曲线俯冲到点B，其速率为vB?2192km?h，所经历的时间为?t?3s。设圆弧AB的半
径约为3.5km，且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动。若不计重力加速度的影响，求：(1)飞机在点B的加速度； (2)飞机由点A到达点B所经历的路程。
解： (1)由于飞机在AB之间作匀变速率圆周运动，所以dv/dt和角加速度?均为常量。切向加速度at的值为
at? vBdvdt
t t有
? vAdv??atdt?at? dt 0 0
得点B的切向加速度为
at?vB?vA?23.3m?s?2?t
而在点B的法向加速度为
2vBan??106m?s?2r
故飞机在点B时的加速度的值为
21/2a?(at2?an)?109m?s?2
图2-12
a与an之间夹角?为
??arctgat?12.4oan
(2)在时间t内，径矢r转过的角度为 ???At?? t212
其中?A是飞机在点A的角速度。故在此时间内，飞机经过的路程为
S?r??r?At?11r? t2?vAt??tt2?1722m22
2.1.4 运动学的基本问题
运动学的问题一般分为两大类 :
第一类问题是已知质点的位置矢量 r=r(t),而求质点的速度和加速度,这类问题可以通过矢径对时间的逐级微商得到。
例 如图2-13,长为l的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A下滑速度为匀速v。当下端B离墙角距离为x (x 解：建立如图所示的坐标系 设A端离地高度为y yyAl?x2?y2?l2 方程两边对t求导 B2x?dxdy?2y?0dtdt Oxxdxydyy???vdtxdtx 图2-13