l2?x2?vx
dx加速度: dt22
ydx/dt=xdy/dt-vx2l22??3vx
例 质点作半径为R的圆周运动，其速率 ??2t , 求：质点任意时刻的加速度a ？ 解：
v24t2an?R?R
a??dv?2 dt4t2 a=Ren+2et
第二类问题是已知质点的加速度或速度,而反过来求质点的速度、位置及运动方程。第二类问题则是通过对加速度或速度积分而得到结果, 积分常数要由问题给定的初始条件,如初始位置和初始速度来决定。
例 一质点沿圆周运动, 其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。设 ? 为质点在圆周上任意两点速度?1与?2之间的夹角。试证: ?2证： ?an?v2R at??1e?。
?dvdt
dvdsdv v2dv?v 即 ???dsRdtRv
?sdsR0????21dvv 积分得
sv?ln2 ?Rv1?sv?ln2 Rv1?2??1e?。
2.1.5 运动的叠加
１．运动叠加原理
在日常生活和生产实践中，常可看到一个物体同时参与两个或几个不同方向上运动的情形，大量实验事实表明，宏观物体任何一个方向的运动，都不因为其他方向的运动而受到影响，即各种方向的运动都具有独立性，这称为运动独立性原理。
２．实例： 以抛体运动为例。
抛体运动是平面曲线运动，物体在空中任意时刻速度分量为
s vx?v0co?y?v0y?vy?v0sin??gt
积分可得
?v0?v?v?gx?v0cos??t
1y?v0sin??t?gt2 0x2图2-14
0x消去 t 得轨迹方程 y?xtg??g2 x222v0cos?由y= 0得 ?v0?gtvsin2?射程 xm?0
g由vy=0 有t?v0sin?g
2?vv0sin2?射高 ym?
2g矢量形式为 即
2v?(v0cosθ)i?(v0sinθ?gt)j
图2-15
v?(v0cosθ)i?(v0sinθ?gt)j ?v0?gt
tr??0vdt?v0t?gt2
12gt212可见抛体运动可归结为初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的叠加。
例 证明在猎人和猴子的演示中，不论子弹的初速度如何总能击中猴子(不计空气阻力)。 解：
v弹猴?v弹地?v地猴?v弹地?v猴地?v0?gt?gt?v0 图2-16
即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度，只要一开始瞄准猴子总能击中。
2.2 相对运动
质点的运动轨迹依赖于观察者( 即参考系 )的例子是很多的。例如一个人站在作匀速直线运动的车上,竖直向上抛出一块石子,车上的观察者看到石子竖直上升并竖直下落。但是,站在地面上的另一人却看到石子的运动轨迹为一抛物线。从这个例子可以看出,石子的运动情况依赖于参考系。在描述物体的运动时，总是相对选定的参考系而言的。通常，我们选地面（或相对于地面静止的物体作为参考系,但是有时为了方便起见，往往也改选相对于地面运动的物体作为参考系。由于参考系的变换，就要考虑物体相对于不同参考系的运动及其相互关系，这就是相对运动问题。
如图2-17 所示，先选定一个基本参考系K（地面 ），如果另一个参考系（车）相对于基本参考系K在运动，则称为运动参考系K'。设一运动物体（球）P在某一时刻相对于参考系K和K' 的位置，可分别用位矢和K中的位矢为
表示；而运动参考系K'上的原点O'在基本参考系
（2-13）
2.2.1 相对位移
，它们之间有如下的关系，即
yKK'y'?u?r'x?rO'O?r0z
图2-17
z' x'2.2.2．相对速度
drdr0dr???得 dtdtdt将2-13式对时间t求导，
1.
：物体在基本参考系K中观察到的速度，称为物体的绝对速度，用ν表示；
2. 示；
：物体在运动参考系K'中观测到的速度，称为物体的相对速度，用ν?表
3. u表示。
：运动参考系自身相对于基本参考系K的速度，称为物体的牵连速度，用
于是，上式可以写成 ν?u?ν? （2-14）
即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和，这一结论称为速度合成定理，它表述了不同参考系之间的速度变换关系。
例 如图2-19，两船A和B各以速度νA和νB行驶，试问它们会相碰吗？ 解：
B相对于A的速度
νBA?νB地?ν地A
?νB地??A地
A?vAA?vBB?vBB= νB-νA
不会相碰。
?vBA?vBA?vA图2-18
例 东流的江水，流速为v1=4 m/s, 一船在江中以航速v2=3 m/s向正北行驶。试求:岸上的人将看到船以多大的速率v，向什么方向航行?
解：以岸为K系，江水为K’系 船相对于岸的速度
ν?ν1?ν2?ν?ν?ν?3?4?5 m/s222122?v2 ?图2-19
?v?v1方向 ??tg?1v20?13 ?tg ?36.87 v14 例 一小船运载木料逆水而行，经过某桥下时，一块木料不慎落入水中，经过半小时后
才发觉，立即回程追赶，在桥下游5千米处追上木料，设小船顺流及逆流的速度相同。求： （1）小船回程追赶所需时间？
（2）水流速度？
解：运动质点：船
静止参照系：河岸； 运动参照系：木料
(1)．先假设水不流动，则木料静止在桥下，船来回速度大小相同，那么船来回所需时间相同。
t1=t2=0.5小时
来回共用时间2 t1=1小时
(2)．现水流动，若由木料上观察者看：船来回所需时间如何？（船相对于运动参照系的运动如何）
因水流动，自然木料以水流速度向下飘移，但应注意到，船同样也有一个由于水流动而向下飘移的运动，两者互相抵消。这样，在以木料为运动参照系来看，船的运动情况与水不流动时完全相同。
所以所需时间t1=t2=0.5小时 来回共用时间2 t1=1小时 (3)．求水流速度
以河岸为参照系，木料以ν水匀速下飘，共用时间为1小时，木料飘下距离为5千米， 则ν水=5/1=5（千米/小时）。
本章小结：
本章重点是掌握位矢、位移、速度、加速度等物理量，并借助于直角坐标系和自然坐标系计算各量。
本章难点是运动学中各物理量的矢量性和相对性，以及将数学的微积分和矢量运算方法应用于物理学。
1 质点的位矢、位移
在直角坐标系中 r?xi?yj?zk
?r??xi??yj??zk
质点的运动方程—描述质点运动的空间位置与时间的关系式
r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k
注意位移?r和路程?s的区别：一般情况下
?r ??S? ?r ??r(或? r )