高考二轮复习第15讲 直线与圆

第15讲 直线与圆

1.与Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(m≠C)与之垂直的直线可设为Bx-Ay+n=0.

2.过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线可设为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0. 3.两平行线间的距离:d=By+C2=0).

4.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

5.过圆x2+y2=r2上的点P(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2.

6.过⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程可设为:(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,当λ=-1时,表示两圆的公共弦所在的直线方程.

7.过圆内一点的直线被圆截得的弦中,最长弦是直径,最短的弦是以该点为中点的弦. 8.直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,当该点与圆心连线与该直线垂直时,其切线长最小.

|C2-C1|A2+B2

(其中两平行线方程分别为l1:Ax+By+C1=0.l2:Ax+

1

小题速解——不拘一格 优化方法

考点一 直线的方程及应用

[典例1] (1)设a∈R,则“a=-2”是直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

通解:当a+1=0即a=-1时,l1:-x+2y-1=0 l2:x+4=0,显然不合题意.

a1x4

当a≠-1时,l1:y=-x+,l2:y=-- 22a+1a+1a1

-=-2a+1

l1∥l2? 解得a=1或a=-2.

41-≠a+12

?????

因此a=-2是l1∥l2的充分不必要条件.

优解:当a=-2时,l1:-2x+2y-1=0,l2:x-y+4=0, 显然l1∥l2.

当l1∥l2时,由a(a+1)=2得a=1或a=-2, 所以a=-2是l1∥l2的充分不必要条件.

2

答案:A

(2)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.

通解:∵直线x+my=0与mx-y-m+3=0分别过定点A,B,∴A(0,0),B(1,3). 当点P与点A(或B)重合时,|PA|·|PB|为零; 当点P与点A,B均不重合时,

∵P为直线x+my=0与mx-y-m+3=0的交点,且易知此两直线垂直, ∴△APB为直角三角形, ∴|AP|2+|BP|2=|AB|2=10, |PA|2+|PB|210

∴|PA|·|PB|≤==5,

22当且仅当|PA|=|PB|时,上式等号成立.

优解:直线x+my=0与mx-y-m+3=0分别过定点A(0,0),B(1,3)且两直线垂直.

11

∴当P与A,B不重合时,形成直角三角形PAB,|AB|=10,而S△PAB=|PA||PB|=|AB|·h.

221

当P到AB的距离h=|AB|时,S最大,

21

∴(|PA|·|PB|)max=|AB|2=5.

2答案:5

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