复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

11.设?是圆周{z:z?c?r},r?0,a?c?rei?.令

??z?a??, L???z:Im???0?b????其中b?ei?.求出L?在a切于圆周?的关于?的充分必要条件. 解:如图所示.

?z?a?因为L?={z: Im??=0}表示通过点a且方向与b同向的直线,要使得直线在a处与圆相切,则CA

?b?⊥L?.过C作直线平行L?,则有∠BCD=β,∠ACB=90°

故α-β=90°

所以L?在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°.

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形,并作出草图.

(1)argz?π;(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;(4)Rez?Imz;(5)Imz?1且z?2.解:

(1)、argz=π.表示负实轴.

(2)、|z-1|=|z|.表示直线z=

1. 2 6 / 66

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

(3)、1<|z+i|<2

解:表示以-i为圆心,以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

(4)、Re(z)>Imz.

解:表示直线y=x的右下半平面

5、Imz>1,且|z|<2.

解:表示圆盘内的一弓形域。

习题二 1. 求映射

w?z?1z下圆周|z|?2的像. w?u?iv则

1x?iyxy?x?iy?2?x?2?i(y?)22x?iyx?yx?yx?2y解:设z?x?iy,

u?iv?x?iy?

2 因为x?y?4,所以

22u?iv?53x?yi44

7 / 66

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

所以

u?53xv??y4,4

4uvx?5,y?34 ?2u2u所以?524??v??324即?522??v2??322?1,表示椭圆.

i?22. 在映射w?z下,下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形,设w??e或w?u?iv.

ππ0?r?2,0???4; (2)4; (1)

(3) x=a, y=b.(a, b为实数)

0?r?2,??222解:设w?u?iv?(x?iy)?x?y?2xyi 22u?x?y,v?2xy. 所以

(1) 记w??e,则

π0???4,??.2

i?0?r?2,??π4映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段,即

ππ0???,0?r?20???4,0???.i?42 (2) 记w??e,则映成了w平面上扇形域,即

22222(3) 记w?u?iv,则将直线x=a映成了u?a?y,v?2ay.即v?4a(a?u).是以原点为焦点,张口向左的抛

22物线将y=b映成了u?x?b,v?2xb.

222v?4b(b?u)是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示. 即

8 / 66

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

3. 求下列极限.

1lim2 (1) z??1?z;

1z?t,则z??,t?0. 解:令

1t2lim?lim?0z??1?z2t?01?t2于是.

Re(z)(2) z?0z;

limRe(z)x?x?iy有 解:设z=x+yi,则zlimRe(z)x1?lim?z?0x?0zx?ikx1?iky?kx?0

显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在.

limz?iz(1?z2);

(3)

z?ilim解:

z?iz?iz?i11lim?lim??2z(1?z2)=z?iz(i?z)(z?i)z?iz(i?z). zz?2z?z?2z2?1.

lim(4)

z?1zz?2z?z?2(z?2)(z?1)z?2??,2z?1(z?1)(z?1)z?1解:因为

limzz?2z?z?2z?23?lim?z?1z?1z2?12.

所以

z?1

4. 讨论下列函数的连续性: (1)

9 / 66

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

?xy,?f(z)??x2?y2?0,?z?0,z?0;lim

limf(z)?解:因为

z?0xy(x,y)?(0,0)x2?y2,

xyk?(x,y)?(0,0)x2?y21?k2, 若令y=kx,则

lim因为当k取不同值时,f(z)的取值不同,所以f(z)在z=0处极限不存在.

从而f(z)在z=0处不连续,除z=0外连续. (2)

?x3y,?f(z)??x4?y2?0,?z?0,z?0.

解:因为

x3yxx3y0?4??x?y22x2y2,

x3ylim?0?f(0)(x,y)?(0,0)x4?y2所以

所以f(z)在整个z平面连续.

5. 下列函数在何处求导?并求其导数.

n?1(1) f(z)?(z?1) (n为正整数);

解:因为n为正整数,所以f(z)在整个z平面上可导.

f?(z)?n(z?1)n?1.

f(z)?z?2(z?1)(z2?1)(2) .

2(z?1)(z?1)?0处不可导. 解:因为f(z)为有理函数,所以f(z)在

从而f(z)除z??1,z??i外可导.

(z?2)?(z?1)(z2?1)?(z?1)[(z?1)(z2?1)]?f?(z)?(z?1)2(z2?1)2?2z3?5z2?4z?3?(z?1)2(z2?1)2f(z)?3z?85z?7.

(3)

3(5z?7)?(3z?8)5617?f(z)???z=(5z?7)2(5z?7)25解:f(z)除外处处可导,且.

10 / 66

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4