复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
11.设?是圆周{z:z?c?r},r?0,a?c?rei?.令
??z?a??, L???z:Im???0?b????其中b?ei?.求出L?在a切于圆周?的关于?的充分必要条件. 解：如图所示．
?z?a?因为L?={z: Im??=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA
?b?⊥L?．过C作直线平行L?，则有∠BCD=β，∠ACB=90°
故α-β=90°
所以L?在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.
(1)argz?π;(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;(4)Rez?Imz;(5)Imz?1且z?2.解：
(1)、argz=π．表示负实轴．
(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=
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(3)、1<|z+i|<2
解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
（4）、Re(z)>Imz．
解：表示直线y=x的右下半平面
5、Imz>1，且|z|<2．
解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二 1. 求映射
w?z?1z下圆周|z|?2的像. w?u?iv则
1x?iyxy?x?iy?2?x?2?i(y?)22x?iyx?yx?yx?2y解：设z?x?iy,
u?iv?x?iy?
2 因为x?y?4,所以
22u?iv?53x?yi44
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所以
u?53xv??y4,4
4uvx?5,y?34 ?2u2u所以?524??v??324即?522??v2??322?1，表示椭圆.
i?22. 在映射w?z下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设w??e或w?u?iv.
ππ0?r?2,0???4； （2）4; （1）
(3) x=a, y=b.(a, b为实数)
0?r?2,??222解：设w?u?iv?(x?iy)?x?y?2xyi 22u?x?y,v?2xy. 所以
(1) 记w??e，则
π0???4,??.2
i?0?r?2,??π4映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即
ππ0???,0?r?20???4,0???.i?42 (2) 记w??e，则映成了w平面上扇形域，即
22222(3) 记w?u?iv，则将直线x=a映成了u?a?y,v?2ay.即v?4a(a?u).是以原点为焦点，张口向左的抛
22物线将y=b映成了u?x?b,v?2xb.
222v?4b(b?u)是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示. 即
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3. 求下列极限.
1lim2 (1) z??1?z;
1z?t,则z??,t?0. 解：令
1t2lim?lim?0z??1?z2t?01?t2于是.
Re(z)(2) z?0z;
limRe(z)x?x?iy有 解：设z=x+yi，则zlimRe(z)x1?lim?z?0x?0zx?ikx1?iky?kx?0
显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在.
limz?iz(1?z2)；
（3）
z?ilim解：
z?iz?iz?i11lim?lim??2z(1?z2)=z?iz(i?z)(z?i)z?iz(i?z). zz?2z?z?2z2?1.
lim（4）
z?1zz?2z?z?2(z?2)(z?1)z?2??,2z?1(z?1)(z?1)z?1解：因为
limzz?2z?z?2z?23?lim?z?1z?1z2?12.
所以
z?1
4. 讨论下列函数的连续性： (1)
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?xy,?f(z)??x2?y2?0,?z?0,z?0;lim
limf(z)?解：因为
z?0xy(x,y)?(0,0)x2?y2,
xyk?(x,y)?(0,0)x2?y21?k2, 若令y=kx,则
lim因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.
从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续. (2)
?x3y,?f(z)??x4?y2?0,?z?0,z?0.
解：因为
x3yxx3y0?4??x?y22x2y2,
x3ylim?0?f(0)(x,y)?(0,0)x4?y2所以
所以f(z)在整个z平面连续.
5. 下列函数在何处求导？并求其导数.
n?1(1) f(z)?(z?1) (n为正整数)；
解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.
f?(z)?n(z?1)n?1.
f(z)?z?2(z?1)(z2?1)(2) .
2(z?1)(z?1)?0处不可导. 解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在
从而f(z)除z??1,z??i外可导.
(z?2)?(z?1)(z2?1)?(z?1)[(z?1)(z2?1)]?f?(z)?(z?1)2(z2?1)2?2z3?5z2?4z?3?(z?1)2(z2?1)2f(z)?3z?85z?7.
(3)
3(5z?7)?(3z?8)5617?f(z)???z=(5z?7)2(5z?7)25解：f(z)除外处处可导，且.
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