复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
??z?e6. 计算积分?Cz?sinz?dzC,其中C为
Cz?a?0.
z?e???解
Czz?sinz?dz??zdz?e????sinzdzzz?ae∵?sinz在所围的区域内解析
?e∴?Cz?sinzdz?0
2?从而
??Ci?zdz?adae?z?ez?sinz?dz????C02??a2i?ei?d??00
??z?e故?Cz?sinz?dz?01z(z?1)27. 计算积分（1）（4）
C1:z???12Cdz,其中积分路径C为
32 （2）
32
C2:z? （3）
C3:z?i?12
C4:z?i?1解：（1）在
z?122z(z?1)只有一个奇点z?0. 所围的区域内，
??11111dz??(????)dz?2?i?0?0?2?i?Cz(z?1)C1z2z?i2z?i（2）在C2所围的区域内包含三个奇点z21?0,z??i.故
??i,故
11111dz?(?????Cz(z2?1)??C2z2z?i2?z?i)dz?2?i??i??i?0（3）在C2所围的区域内包含一个奇点z111111dz?(?????Cz(z?1)??C3z2z?i2?z?i)dz?0?0??i???i（4）在C4所围的区域内包含两个奇点z21?0,z?i,故
11111dz?(?????Cz(z2?1)??C4z2z?i2?z?i)dz?2?i??i??i
110.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) ?i??2i0zcosdz2
(2)
1??0?ie?zdz(2?iz)dz (3) ?
1ii2ln(z?1)dz?(4) 1z?1 (5)
1?tanzdz?0z?sinzdz (6) ?1cos2z
解 (1)
???2i0z1zcosdz?sin222??2i0?2ch1
(2)
??0?ie?zdz??e?zi20??ii??22
113i1?(2?iz)dz?i?(2?iz)d(2?iz)?i?3(2?iz)(3)
111??11i?33
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
(4) (5)
iln(z?1)121?2idz?ln(z?1)dln(z?1)?ln(z?1)??(?3ln22)1?1z?1?1284 i?10z?sinzdz???zdcosz??zcosz10??coszdz?sin1?cos10011 ii1?tanz1iidz??sec2zdz??sec2ztanzdz?tanz1?tan2z121cosz112112?2????tan1?tan1?th1??ith1?22?(6) 11. 计算积分
?i??Cezdz2z?1,其中C为
(1)
z?i?1 (2)
z?i?1 (3)
z?2
解 (1)
ezezez??Cz2?1dz???C(z?i)(z?i)dz?2?i?z?iz?i??ei ???e?iezezez??Cz2?1dz???C(z?i)(z?i)dz?2?i?z?i(2)
z??i
ezezezdz??dz??dz??ei??e?i?2?isin1????Cz2?1C1z2?1C2z2?1(3)
16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.
ez??Cz5dz
(1) (2)
??zcosz2dz,z?1dz02??CCz32 (3) (z?z0)tan解 (1)
ez2?iz(4)dz?(e)??Cz54!(2)
z?0??i12
cosz2?i(2)dz?(cosz)??Cz32!(3)
z?0???i
z2dz?2?i(tanz)'??C(z?z0)2tan1C3z?z0??isec2z02
17. 计算积分??(z?1)(z?1)dz3,其中积分路径C为
(1)中心位于点z?1,半径为R?2的正向圆周
(2) 中心位于点z??1,半径为R?2的正向圆周
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
解：(1)
C内包含了奇点z?1
z?112?i1(2)dz?()33??C2!(z?1)3∴(z?1)(z?1)(2)
C?3?i8
内包含了奇点z??1,
z??1??12?i1dz?()(2)3??C(z?1)3(z?1)32!(z?1)∴
19. 验证下列函数为调和函数.
3?i8
(1)??x3?6x2y?3xy2?2y3;(2)??excosy?1?i(exsiny?1).
解(1) 设∴
w?u?i?,u?x?6xy?3xy?2y3223 ??0
?u?u??6x2?6xy?6y2?3x2?12xy?3y2?x ?y
?2u?2u??6x?12y?6x?12y22?y?x
从而有
?2u?2u??0?x2?y2,w满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
(2)
xx??e?siny?1 u?e?cosy?1w?u?i?设,
?u?u??ex?siny?ex?cosy∴?x ?y
2?u?2uxx??e?cosy?e?cosy22?x ?y
从而有
?2u?2u??0?x2?y2,u满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
?????ex?cosy?ex?siny?x ?y
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
?2??2?xx??siny?e?e?siny2?x2 ?y
?2??2??2?02?x?y,?满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.
22u?x?y20.证明:函数,
??xx2?y2都是调和函数,但f(z)?u?i?不是解析函数
证明:
2?2u?u?u?u??2y??2?2x?222?x ?y ?x ?y
?2u?2u?2?02?y∴?x,从而u是调和函数. ???2xy??y2?x2???x(x2?y2)2 ?y(x2?y2)2
?2??6xy2?2x3?2?6xy2?2x3??23?x2(x2?y2)3 ?y2(x2?y)
?2??2??2?02?x?y∴,从而?是调和函数.
?u???u??????x ?y ?y但∵?x∴不满足C-R方程,从而f(z)?u?i?不是解析函数. 22.由下列各已知调和函数,求解析函数f(z)?u?i?
22u?x?y?xy (2)(1)
u?y,f(1)?0x2?y2
?u???u????2y?x???2x?y??x ?y ?y解 (1)因为 ?x所以 (x,y)???(0,0)??u?u(x,y)x?xdx?y(2x?y)dy?Cdx?dy?C??(0,0)(2y?x)dx?(2x?y)dy?C??0?0?y?xx2y2????2xy?C22x2y2f(z)?x?y?xy?i(???2xy?C)22
22令y=0,上式变为
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
x2f(x)?x?i(?C)2
2从而
z2f(z)?z?i??iC2
2?u2xy?ux2?y2??2?22222?x(x?y)(2) ?y(x?y)
用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有
2xx?u?u2yy???(?dx?dy)?C??4dx?x?0dy?C(1,0)1x?y?x(x2?y2)21xxy??1?2??1?Cxx?y20x2?y2(x,y)f(z)?yx?i(?1?C)2222x?yx?y
由f(1)?0.，得C=0
1??f?z??i???1??z?
23.设分
p(z)?(z?a1)(z?a2)?(z?an),其中ai(i?1,2,?,n)各不相同，闭路C不通过a1,a2,?,an,证明积
1p?(z)dz??2πiCp(z)
等于位于C内的p(z)的零点的个数.
证明: 不妨设闭路C内P(z)的零点的个数为k, 其零点分别为
1P?(z)1dz????CC2πiP(z)2πi??a1,a2,...ak
?(z?a)?(z?a)?(z?a)?...(z?a)...(z?ak1k1k?2k?3nnn?1)dz(z?a1)(z?a2)...(z?an)111111dz?dz?...?dz??????CCC2πiz?a12πiz?a22πiz?ank个?1??1???...?1????k1111dz?...?dz????CC2πiz?ak?12πiz?an24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f(z)在
闭路C及其外部区域D内解析，且z??limf(z)?A??，则
??f(z)?A,z?D,1f(?)???zd???A,z?G.2πiC?
其中G为C所围内部区域.
证明：在D内任取一点Z，并取充分大的R，作圆CR: 则f(z)在以C及
z?R，将C与Z包含在内
CR为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有
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