复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
f(z)?1f(?)f(?)[?d?-d?]???CCR2πi??z??z
f(??z)??R因为??z 在上解析，且
???lim??f(?)1?limf(?)??limf(?)?1z?????z???1??
所以，当Z在C外部时，有
f(z)?A?1f(?)?C??zd?2πi?
1f(?)??C??zd???f(z)?A2πi即
设Z在C内，则f(z)=0，即
0?1f(?)f(?)[?d????C??zd?]2πi?CR??z
1f(?)??C??zd??A2πi故有：
习题四
1. 复级数?an与?bn都发散,则级数?(an?bn)和
n?1n?1n?1????ab发散.这个命题是否成立?为什么?
?nnn?1答.不一定．反例: ???11?11an???i2,?bn????i2发散 ?nn?1nnn?1n?1nn?1但?(an?bn)??i?n?1n?1????2收敛 2n2发散
(a?b)???nnn?1n?1n??11anbn??[?(2?4)]收敛. ?nnn?1n?12.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
??n1?i2n?11?5in) (3) ?e (1)? (2)?(n2nn?1n?1n?1iπ??incosin(4) ? (5) ?n
2n?1lnnn?0?1?i2n?1?1?(?1)n?i?1(?1)n??????i 解 (1) ?nnnn?1n?1n?1n??11?i2n?1因为?发散,所以?发散
nn?1nn?1? 26 / 66
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
?1?5i26n?()发散 (2)??22n?1n?1?n1?5in15nlim()?lim(?i)?0 又因为n??n??2221?5i()发散 所以?2n?1??ee1(3) ??发散,又因为????nn?1n?1n?1nn?1nπin?n?iπn?cosππ?isin?1ππnn?(cos?isin)收敛,所以不绝对收敛. ?nnnn?1n(4)
?n?1??in1?? lnnn?1lnn11?因为
lnnn?1
所以级数不绝对收敛. 又因为当n=2k时, 级数化为
(?1)kln2k?k?1?收敛
k?当n=2k+1时, 级数化为?(?1)也收敛
k?1ln(2k?1)所以原级数条件收敛
cosin?1en?e?n1?en1?1n??()??() (5) ?n??n?222n?022n?02en?0n?02?1ne其中?()n 发散,?()收敛
n?02en?02??所以原级数发散.
?3.证明:若Re(an)?0,且?an和?an2收敛,则级数?an2绝对收敛.
??n?1n?1n?1证明:设
222an?xn?iyn,an?(xn?iyn)2?xn?yn?2xnyni
因为
?an和?an2收敛
n?1n?1??所以?xn,?yn,?(xn?yn),?xnyn收敛
2n?1n?1n?1n?1????又因为Re(an)?0,
xn?limxn?0 所以xn?0且limn??n??2 27 / 66
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
当n充分大时, xn?xn
2所以
2?xn?1?2n收敛
22222an?xn?yn?2xn?(xn?yn)
而
?2xn?1??2n收敛，
?(xn?1?2n2?yn)收敛
所以
?an?12n收敛，从而级数
?an?1?2n绝对收敛.
4.讨论级数?(zn?1?zn)的敛散性
n?0?k?1kn?1时,sn??1 解 因为部分和sn??(z?z)?z?1，所以，当z?1k?0n当z?1时,sn?0，当z??1时,sn不存在.
i?当z?e而??0时（即z?1,z?1），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．
当z>1时,sn??.
故当z?1和z?1时,
??(zn?0?n?1?zn)收敛.
5.幂级数
?C(z?2)nn?0n能否在z=0处收敛而在z=3处发散.
解： 设limn??Cn?111??，则当z?2?时，级数收敛，z?2?时发散. Cn??若在z=0处收敛,则
1??2
若在z=3处发散, 则
1??1
?显然矛盾,所以幂级数
?C(z?2)nn?0n不能在z=0处收敛而在z=3处发散
6.下列说法是否正确?为什么?
(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.
(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.
答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.
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7.若
?Cznn?0?n的收敛半径为R,求
?bn?0?Cnnzn的收敛半径。
Cn?1Cn?1111bn?1lim?lim??解： 因为n?? Cnn??CbRbnbn所以 R??R?b 8.证明：若幂级数
?aznn?0?n的 系数满足limn??nan??，则
1(1)当0?????时, R?
?(2) 当??0时, R??? (3) 当????时, R?0 证明：考虑正项级数
?aznn?0?n?a1z?a2z2?...?anzn?...
nnazn?limna?nz???z，若0?????，由正项级数的根值判别法知，当??z?1时，即由于limnnn??n??z?1?时，?anzn收敛。当??z?1时，即z?n?0?1?时，anzn不能趋于零,limnanzn?1级数发散.故收
n??2敛半径R?1?.
当??0时, ??z?1,级数收敛且R???.
n若????,对?z?0,当充分大时,必有anz不能趋于零,级数发散.且R?0
2
9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。
n(1)?(z?pi) n?0n? (2)
n?0
?n?12n?1?z2n?1(3) ?(?i)?2nn?0
?n?p?zninn(n?1)((4) ?)?(z?1)n?0n
解: (１)
?limn??1(n?1)pnp1p1?lim()?lim(1?)?1pn??n??nn?1n?1?R?1z?i?1
收敛圆周
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(2)
(n?1)plim?1pn??nR?1所以收敛圆周
z?1
n?1f(z)?(?i)?(3) 记 n2n?12n?1?z n22n?1由比值法,有
(2n?1)?2n?zfn?1(z)12lim?lim?z2n?1n??n??fn(z)2(2n?1)?22n?1?z
要级数收敛,则
z?2 级数绝对收敛,收敛半径为
R?2
所以收敛圆周
z?2 inf(z)?()?(z?1)n(n?1)(4) 记 nn
limnfn(z)?limnn??n??z?1(z?1)n(n?1)?limn??nnnn?1???,??????若????1若????1
所以
z?1?1时绝对收敛,收敛半径R?1
z?1?1
收敛圆周
10.求下列级数的和函数. (1)
n?1?(?1)?n?1z2n?nz (2)?(?1)?(2n)! n?0n?n解: (1)
limn??Cn?1n?1?lim?1n??nCn
故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：
?z?0?(?1)nzdz??(?1)nzn?nn-1n?1n?1?z1?z
所以
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