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2.3.1.平面向量基本定理
学习目标.1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
知识点一.平面向量基本定理
思考1.如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
答案. 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
思考2.如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ 答案. 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.
梳理.(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二.两向量的夹角与垂直
思考1.平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 答案. 存在夹角，不一样.
→→
思考2.△ABC为正三角形，设AB＝a，BC＝b，则向量a与b的夹角是多少？ →
答案.如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则BD＝a，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°. →→
梳理.(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
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当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向. (2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.
类型一.对基底概念的理解
例1.如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(..) ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 答案.B
解析.由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.
反思与感悟.考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(..) A.e1－e2，e2－e1 C.2e2－3e1，6e1－4e2 答案.D
解析.选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向1
量；选项B中，2e1－e2＝2(e1－e2)，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，
2为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合. 类型二.向量的夹角
例2.已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.
→→
解.如图，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°，
1
B.2e1－e2，e1－e2
2D.e1＋e2，e1－e2
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以OA、OB为邻边作?OACB， →→→→
则OC＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b， →→
BC＝OA＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形， 所以∠OAB＝60°＝∠ABC， 即a－b与a的夹角β＝60°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形， 所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°， 即a＋b与a的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.
反思与感悟.(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
→1→→→→
跟踪训练2.已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________.
2答案.90°
→1→→
解析.由AO＝(AB＋AC)知，O，B，C三点共线，且O是线段BC的中点，故线段BC是圆O的
2→→
直径，从而∠BAC＝90°，因此AB与AC的夹角为90°.
类型三.平面向量基本定理的应用
→→
例3.如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若AB＝a，AD＝b，试以a，b→→
为基底表示DE，BF.
解.∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
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