4-1.2.2同角三角函数的基本关系（3）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明； 能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法； 教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：sin??csc??1，cos??sec??1，tan??cot??1．
sin?cos?． ?tan?，cot??cos?sin?222222（3）平方关系：sin??cos??1，1?tan??sec?，1?cot??csc?．
4（练习）已知tan??，求cos?
3（2）商数关系：
2．tanαcosα= ，cotαsecα= ，（secα+tanα）·（ ）=1 二、讲解新课： 例8．已知1?sin?1?sin????2tan?，试确定使等式成立的角?的集合。
1?sin?1?sin?1?sin?1?sin?(1?sin?)2(1?sin?)2|1?sin?||1?sin????解：∵= ?1?sin?1?sin?|cos?||cos?|cos2?cos2?1?sin??1?sin?2sin?==．
|cos?||cos?|1?sin?1?sin????2tan?，
1?sin?1?sin?2sin?2sin?∴??0， 即得sin??0或|cos?|??cos??0． |cos?|cos??3?所以，角?的集合为：{?|??k?或2k?????2k??,k?Z}．
22例9．化简(1?cot??csc?)(1?tan??sec?)．
cos?1sin?1?)(1??) 解：原式=(1?sin?sin?cos?cos?sin??cos??1cos??sin??11?(sin??cos?)21?1?2sin??cos??? ???2．
sin?cos?sin??cos?sin??cos?又∵说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：
（1）所含三角函数的种类最少； （2）能求值（指准确值）尽量求值； （3）不含特殊角的三角函数值。
cosx1?sinx． ?1?sinxcosx证法一：由题义知cosx?0，所以1?sinx?0,1?sinx?0．
cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)1?sinx?∴左边=??右边． 2(1?sinx)(1?sinx)cosxcosx例10．求证：
∴原式成立．
证法二：由题义知cosx?0，所以1?sinx?0,1?sinx?0． 又∵(1?sinx)(1?sinx)?1?sinx?cosx?cosx?cosx，
22cosx1?sinx． ?1?sinxcosx证法三：由题义知cosx?0，所以1?sinx?0,1?sinx?0．
∴
cosx1?sinxcosx?cosx?(1?sinx)(1?sinx)cos2x?1?sin2x??0， ??(1?sinx)cosx(1?sinx)cosx1?sinxcosxcosx1?sinx∴． ?1?sinxcosx
例11．求证：sinx?tanx?cosx?cotx?2sinx?cosx?tanx?cotx． 证明：左边?sinx?22sinx1?cos2x??2sinx?cosx cosxtanxsin3xcosx?cos2x??2sinx?cosx ?cosxsinxsin4x?cos4x?2sin2xcos2x(sin2x?cos2x)21?? ?，
sinx?cosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsin2x?cos2x1???右边?． cosxsinxsinxcosxsinxcosx2所以，原式成立。
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
1?3(0?x??)，求sinx,cosx． 21?3(0?x??)等式两边平方： 解：由sinx?cosx?21?32sin2x?cos2x?2sinxcosx?()．
23∴sinxcosx??（*），
4?1?3?sinx?cosx??2， 即??sinxcosx??3??41?3313z??0的两个根，解得z1?,z2??． sinx,cosx可看作方程z2?2422例12．已知sinx?cosx?
又∵0?x??，∴sinx?0．又由（*）式知cosx?0 因此，sinx?13,cosx??． 22三、巩固与练习
1. 求证：
(1)ctg2A(tg2A?sin2A)?sin2A1(2)sin2?cos2??sec2??csc2?
22222(3)(1?sinA)(secA?1)?sinA(cscA?ctgA)cosx1?sinx(4)?1?sinxcosx小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=sin2??cos2??sec2??tan2??csc2??cot2?
22、已知方程2x?(3?1)x?m?0的两根分别是sin?，cos?，
求
sin?cos? ?的值。1?cot?1?tan?sin2?cos2?sin2??cos2????sin??cos? 解：?原式?sin??cos?cos??sin?sin??cos??由韦达定理知：原式?3?1 （化弦法） 2
3、已知asec??ctan??d,bsec??dtan??c,求证：a2?b2?c2?d2?asec??ctan??d(1) 证：由题设：?
bsec???dtan??c(2)?2222222222 (1)?(2)：(a?b)sec??(c?d)tan??c?d
(a2?b2)sec2??(c2?d2)sec2?
?a2?b2?c2?d24、消去式子中的?：?
?x?sin??cos?(1)
?y?tan??cot?(2)x2?1?sin?cos??(3)
2解：由(1)：x?1?2sin?cos?2