大学物理学答案(北京邮电大学第3版)赵近芳等编著

大学物理学(北邮第三版) 习题及解答(全)

习题一

drdrdvdv1-1 |?r|与?r有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?其不同在哪里?试

举例说明.

???r?r?r?r?r?r2?r121,解:(1)是位移的模,?r是位矢的模的增量,即;

drdrds?v?dt(2)dt是速度的模,即dt. drdt只是速度在径向上的分量.

?drdrdr??r?r?(式中r?叫做单位矢)dt ∵有r?rr,则dtdtdr式中dt就是速度径向上的分量,

drdr与dt不同如题1-1图所示. ∴dt题1-1图

?dv?dvdva?dt,dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模,即

??v?v?(?表轨道节线方向单位矢)∵有,所以

??dvdv?d????vdtdtdt

dv式中dt就是加速度的切向分量.

???d??dr?与dt的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论) (dt1-2 设质点的运动方程为x=x(t),y=y(t),在计算质点的速度和加速度时,有人先求

d2rdr222x?y出r=,然后根据v=dt,及a=dt而求得结果;又有人先计算速度和加速度

的分量,再合成求得结果,即

你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?

?d2x??d2y??dx??dy????????dt2?????dt2??dtdt???????? =及a=

2222???解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有r?xi?yj,

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt

故它们的模即为

?dx??dy?22v?vx?vy???????dt??dt?222而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作

?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????

2drv?dtd2ra?2dt

drd2rdr与2dt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不是速度的模,其二,可能是将dtd2r2而只是速度在径向上的分量,同样,dt也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中

2?d2r?d????a径?2?r????dt?dt????。的一部分?或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r在径向(即

??量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速

度的贡献。

1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为

1x=3t+5, y=2t2+3t-4.

式中t以 s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s 时刻和t=2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算t=0 s时刻到t=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4 s 时质点的速度;(5)计算t=0s 到t=4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s 时质点

的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).

?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解:(1)

(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm

??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0???????r?r?r12i?20j?v??40??3i?5jm?s?1?t4?04∴

????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)

???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v?3i?3j,v4?3i?7j

(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ???dva??1jm?s?2dt(6)

这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题1-4图所示.当人以

v0(m·s?1)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.

图1-4

解: 设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成?角,由图可知

222 l?h?s

将上式对时间t求导,得

dlds?2sdt dt根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的,

dldsv绳???v0,v船??dtdt ∴

vdsldllv船?????v0?0dtsdtscos? 即

lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或

v将船再对t求导,即得船的加速度

2l 题1-4图

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss

2?21-5 质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 a=2+6x,a的单位为m?s,x的单位

s为 m. 质点在x=0处,速度为10m?s,试求质点在任何坐标处的速度值.

?1dvdvdxdv??vdtdxdtdx 解: ∵

2?d??adx?(2?6x)dx 分离变量:

a?12v?2x?2x3?c两边积分得 2

v?10,∴c?50

由题知,x?0时,03?1v?2x?x?25m?s∴

1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a=4+3tm?s,开始运动时,x=5 m,v=0,

求该质点在t=10s 时的速度和位置.

?2dv?4?3tdt 解:∵

分离变量,得 dv?(4?3t)dt

a?3v?4t?t2?c12积分,得

v?0,∴c1?0

由题知,t?0,03v?4t?t22 故

dx3v??4t?t2dt2 又因为

3dx?(4t?t2)dt2分离变量,

1x?2t2?t3?c22积分得

x?5,∴c2?5

由题知 t?0,01x?2t2?t3?52故

所以t?10s时

3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2

31-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为 ?=2+3t,?式中以弧度计,t以秒计,求:(1) t=2 s时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°

v10?4?10?角时,其角位移是多少?

解:

??d?d??9t2,???18tdtdt

?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时,

an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2

(2)当加速度方向与半径成45角时,有

2R??R?即

οtan45??a??1an

22(9t)?18t 亦即

22??2?3t3?2?3??2.67rad9 于是角位移为9则解得

1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s=的规律运动,式中s为质点离圆周上某点的弧

v长,0,b都是常量,求:(1)t时刻质点的加速度;(2) t为何值时,加速度在数值上等于b.

t3?ds?v0?btdt解:(1) dva????bdtv2(v0?bt)2an??RR

(v0?bt)4222a?a??an?b?R2则

v?加速度与半径的夹角为

??arctan(2)由题意应有

a??Rb?an(v0?bt)2

2(v0?bt)4a?b?b?R2 4(v?bt)b2?b2?02,?(v0?bt)4?0R即

vt?0b时,a?b ∴当

1-9 半径为R的轮子,以匀速

v0沿水平线向前滚动:(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为

x=R(?t?sin?t),y=R(1?cos?t),式中??v0/R是轮子滚动的角速度,当B与

水平线接触的瞬间开始计时.此时B所在的位置为原点,轮子前进方向为x轴正方向;(2)

求B点速度和加速度的分量表示式.

解:依题意作出下图,由图可知

题1-9图

x?v0t?2Rsin?v0t?Rsin??2cos?2(1)

?R(?t?Rsin?t)

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