方差计算公式的证明

方差计算公式的证明

(1) 用新数据法求平均数

当所给的数据都在某一常数a的上下波动时,一般选用简化公式: = +a.其中,常

1 数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数, = -a, = -a,…, = -a ○

=( + )是新数据的平均数(通常把 , ,…, ,叫做原数据,

, ,…, , 叫做新数据)。证明: 1左边的数据相加,把○1右边的数据相加,得到一个等式: 把○ + = -a+ -a+…+ -a + = + +…+ -na

=

2 —a 即 ○

亦即 = +a

(2) 方差的基本公式

方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是:在一组数据 , , , 中,各数据与他们的平均数 的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。通常用“ ”表示,即:

=[ + ]

(3) 方差的简化计算公式

= [ + +…+ )-n ] 也可写成 =[ + +…+ )]-

此公式的记忆方法是:方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明:

= [ + ]

=[ + + + +…+ + ]

+n ] =[ + +…+ )-2 + +…+

=[ + +…+ )-2n

=[ + +…+ )-2n

= [ + +…+ )-n ]

= + +…+ )- ………………..(I)

1

1,有 = +a, = +a,… = +a,和 = +a(详见(1)的证明) 根据○

代入简化公式(I),则有:

= [( )+( )+… ( ) - =[( + +…+ )+2a( + +…+ )+n ]-( +2 a+ )

=( + +…+ )+2a+ -

2 a-

= ( + +…+ )+ 2 a+ =( + +…+ ) …………………….(II)

此公式的记忆方法是:方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。

由方差的基本公式,经恒等变形后,产生了简化公式(I);由简化公式(I)进行等

量代替产生了简化公式(II).因此,基本公式和简化公式(I)(II)所计算出的方差 都相同。基本公式和简化公式(I)按原数据 , ,…, 计算方差;简化公

式(II)按新数据 , ,…, 计算方差,计算出的方差相同。

(4) 用新数据法计算方差

原数据 , ,…, 的方差与新数据 = -a, = -a,…, = -a的方差相等。也就

是说,根据方差的基本公式,求得的 , ,…, 的方差就等于原数据 , ,…, 的方差。

证明:

1式里的每一个式子的两边,减去○2式的两边(左边-左边,右边-右边)有: 把○

- =( -a)-( -a)= -

- =( -a)-( -a)= -

…………

- =( -a)-( -a)= -

再把以上每一个新生成等式左右两边平方,即有左2=右2:

( )=( ) ( )=( )

…………

( )=( )

最后把这些式子的左边加左边,右边加右边,其和分别除以n,即有:

[( )+( )+…+( )]= [ + ]

这就是根据方差的基本公式,求得的 , ,…, 的方差就等于原数据 , ,…, 的方差。

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