方差计算公式的证明
（1） 用新数据法求平均数
当所给的数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式： = +a.其中，常
1 数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， = -a, = -a,…, = -a ○
=( + )是新数据的平均数（通常把 , ,…, ,叫做原数据，
, ,…, , 叫做新数据）。证明： 1左边的数据相加，把○1右边的数据相加，得到一个等式： 把○ + = -a+ -a+…+ -a + = + +…+ -na
=
2 —a 即 ○
亦即 = +a
（2） 方差的基本公式
方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据 ， ， ， 中，各数据与他们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“ ”表示，即:
=[ + ]
(3) 方差的简化计算公式
= [ + +…+ )-n ] 也可写成 =[ + +…+ )]-
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明：
= [ + ]
=[ + + + +…+ + ]
+n ] =[ + +…+ )-2 + +…+
=[ + +…+ )-2n
=[ + +…+ )-2n
= [ + +…+ )-n ]
= + +…+ )- ………………..(I)
1
1，有 = +a, = +a,… = +a,和 = +a(详见（1）的证明) 根据○
代入简化公式（I）,则有：
= [（ ）+（ ）+… （ ） - =[( + +…+ )+2a( + +…+ )+n ]-( +2 a+ )
=( + +…+ )+2a+ -
2 a-
= ( + +…+ )+ 2 a+ =( + +…+ ) …………………….(II)
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行等
量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算出的方差 都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据 , ,…, 计算方差；简化公
式（II）按新数据 , ,…, 计算方差，计算出的方差相同。
(4) 用新数据法计算方差
原数据 , ,…, 的方差与新数据 = -a, = -a,…, = -a的方差相等。也就
是说，根据方差的基本公式，求得的 , ,…, 的方差就等于原数据 , ,…, 的方差。
证明：
1式里的每一个式子的两边，减去○2式的两边（左边-左边，右边-右边）有： 把○
- =( -a)-( -a)= -
- =( -a)-( -a)= -
…………
- =( -a)-( -a)= -
再把以上每一个新生成等式左右两边平方，即有左2=右2：
（ ）=（ ） （ ）=（ ）
…………
（ ）=（ ）
最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以n,即有：
[（ ）+（ ）+…+（ ）]= [ + ]
这就是根据方差的基本公式，求得的 , ,…, 的方差就等于原数据 , ,…, 的方差。
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