混合高斯模型（Mixtures of Gaussians）和EM算法
这篇讨论使用期望最大化算法（Expectation-Maximization）来进行密度估计（density estimation）。
与k-means一样，给定的训练样本是k-means的硬指定不同，我们首先认为式分布，
，其中
后，
满足多值高斯分布，即
。
，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个
，
，我们将隐含类别标签用
表示。与
是满足一定的概率分布的，这里我们认为满足多项
，
有k个值{1,…,k}
。由
可以选取。而且我们认为在给定此可以得到联合分布
整个模型简单描述为对于每个样例然后根据
所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例，。整个过程称作混合高斯模型。
和。最大似然估计为
注意的是这里的仍然是隐含随机变量。模型中还有三个变量
。对数化后如下：
这个式子的最大值是不能通过前面使用的求导数为0的方法解决的，因为求的结果不是close form。但是假设我们知道了每个样例的
，那么上式可以简化为：
这时候我们再来对
和进行求导得到：
就是样本类别中
的比率。是类别为j的样本特征均值，是类别为j的样例的
特征的协方差矩阵。 实际上，当知道
后，最大似然估计就近似于高斯判别分析模型（Gaussian discriminant
analysis model）了。所不同的是GDA中类别y是伯努利分布，而这里的z是多项式分布，还有这里的每个样例都有不同的协方差矩阵，而GDA中认为只有一个。 之前我们是假设给定了
，实际上
是不知道的。那么怎么办呢？考虑之前提到的EM
的思想，第一步是猜测隐含类别变量z，第二步是更新其他参数，以获得最大的最大似然估计。用到这里就是：
循环下面步骤，直到收敛： { （E步）对于每一个i和j，计算 （M步），更新参数： } 在E步中，我们将其他参数看作常量，计算的后验概率，也就是估计隐含类别变
量。估计好后，利用上面的公式重新计算其他参数，计算好后发现最大化最大似然估计时，值又不对了，需要重新计算，周而复始，直至收敛。
的具体计算公式如下：
这个式子利用了贝叶斯公式。
这里我们使用代替了前面的，由简单的0/1值变成了概率值。
是有一定的概
对比K-means可以发现，这里使用了“软”指定，为每个样例分配的类别
率的，同时计算量也变大了，每个样例i都要计算属于每一个类别j的概率。与K-means相同的是，结果仍然是局部最优解。对其他参数取不同的初始值进行多次计算不失为一种好方法。 虽然之前再K-means中定性描述了EM的收敛性，仍然没有定量地给出，还有一般化EM的推导过程仍然没有给出。下一篇着重介绍这些内容。
（EM算法）The EM Algorithm
EM是我一直想深入学习的算法之一，第一次听说是在NLP课中的HMM那一节，为了解决HMM的参数估计问题，使用了EM算法。在之后的MT中的词对齐中也用到了。在Mitchell的书中也提到EM可以用于贝叶斯网络中。 下面主要介绍EM的整个推导过程。
1. Jensen不等式
回顾优化理论中的一些概念。设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x，
，那么f是凸函数。当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（
那么f是凸函数。如果
Jensen不等式表述如下：
如果f是凸函数，X是随机变量，那么
当且仅当
，也就是
或者
，那么称f是严格凸函数。
），
特别地，如果f是严格凸函数，那么说X是常量。
这里我们将简写为。
如果用图表示会很清晰：
图中，实线f是凸函数，X是随机变量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。（就像掷硬币一样）。X的期望值就是a和b的中值了，图中可以看到 当f是（严格）凹函数当且仅当-f是（严格）凸函数。 Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向，也就是
。 成立。
2. EM算法
给定的训练样本是
，样例间独立，我们想找到每个样例隐含的类别z，能使
得p(x,z)最大。p(x,z)的最大似然估计如下：
第一步是对极大似然取对数，第二步是对每个样例的每个可能类别z求联合分布概率和。但是直接求一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。 EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。竟然不能直接最大化
，我们可以不
断地建立的下界（E步），然后优化下界（M步）。这句话比较抽象，看下面的。
对于每一个样例i，让表示该样例隐含变量z的某种分布，满足的条件是
。（如果z是连续性的，那么是概率密度函数，需要将求和符号换做
积分符号）。比如要将班上学生聚类，假设隐藏变量z是身高，那么就是连续的高斯分布。如果按照隐藏变量是男女，那么就是伯努利分布了。 可以由前面阐述的内容得到下面的公式：
（1）到（2）比较直接，就是分子分母同乘以一个相等的函数。（2）到（3）利用了Jensen不等式，考虑到
是凹函数（二阶导数小于0），而且
就是
设Y是随机变量X的函数
的期望（回想期望公式中的Lazy Statistician规则） （g是连续函数），那么 ，k=1,2,…。若 （1） X是离散型随机变量，它的分布律为绝对收敛，则有 （2） X是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有