课时作业(五十六) 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x＋y＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝
941的交点个数是( )
A．至多为1 C．1 答案：B 解析：由题意知：所求的交点个数为2.
2．(2015·潍坊模拟)过抛物线y＝4x的焦点且斜率为3的直线l与抛物线y＝4x交于A，B两点，则|AB|的值为( )
A.16 3
8B． 3167D． 3
2
2
2
2
x2y2
B．2 D．0
4
m2＋n2
>2，即m＋n<2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故
94
22
x2y2
87C．
3答案：A
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线的焦点为(1,0)，则直线l的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程得3x－10x＋3＝0.
10
∴x1＋x2＝.
3
16
根据抛物线的定义，可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝. 3
3．设F1，F2为椭圆＋y＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q4→→
两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，PF1·PF2的值等于( )
A．0 C．4 答案：D
解析：易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大， 此时F1(－3，0)，F2(3，0)，不妨设P(0,1)， →→
∴PF1＝(－3，－1)，PF2＝(3，－1)， →→
∴PF1·PF2＝－2.
B．2 D．－2
2
x2
2
4．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是( )
164A．3x＋4y－13＝0 C．3x－4y＋5＝0 答案：A
解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由于A，B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，
164164两式相减，得
B．4x＋3y－13＝0 D．3x＋4y＋5＝0
x2y2
x21y21x22y22
x1＋x2
16
x1－x2
＋
y1＋y2
4
y1－y2
＝0.
又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝
y1－y23
＝－. x1－x24
3
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．
4即3x＋4y－13＝0.
x2y2
5．(2015·山东师大附中模拟)设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作
ab与x轴垂直的直线l交渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐3→→→
标原点，OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，λμ＝，则该双曲线的离心率为( )
16
A.32
2
35B．
523D．
3
9C. 8答案：D
bc??b??bc??解析：由题意可知A?c，?，B?c，－?，P?c，?.
a??a??a??
??λ＋μ＝1，→→→
由OP＝λOA＋μOB，可知?
?b＝cλ－μ.?
2
3λ＝，??43
又λμ＝，∴?161
μ＝??4.1
∴b＝c，即c＝2b.
2
又c＝a＋b，故a＝3b.
222
c23∴e＝＝. a3
故选D. 二、填空题
6．(2014·安顺5月)在抛物线y＝x上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为________．
答案：(－2,4)，(1,1)
解析：设直线MN的方程为y＝－x＋b， 代入y＝x中， 整理得x＋x－b＝0， 1令Δ＝1＋4b>0，∴b>－. 4
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，
22
2
y1＋y2
2
＝－
x1＋x2
21
＋b＝＋b，
2
?11?由?－，＋b?在直线y＝x＋3上， ?22?
11
得＋b＝－＋3，解得b＝2， 22
??y＝－x＋2，联立?2
?y＝x，?
??x1＝－2，
解得?
?y1＝4，?
2
y2
??x2＝1，
?
?y2＝1.?
7．(2014·郑州三模)已知双曲线x－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，3且MN中点在抛物线y＝18x上，则实数m的值为________．
答案：0或－8
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，
2
??x－3＝1，①则?yx－??3＝1，②
2122
22
21
y21
2
2
由①－②，得x－x＝
2
y21－y2
3
，
1
即(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，
31y1－y21
也即2x0＝··2y0＝·(－1)·2y0，
3x1－x23