初一数学超前班
第2讲 绝对值
7 年级
知识总结归纳
一. 绝对值的定义
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
?a,(a?0)?a,(a?0)?a,(a?0)?a??0,(a?0)或a??或a??
?a,(a?0)?a,(a?0)????a,(a?0)?二. 绝对值的几何意义
a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．数a的绝对值记作a．
三. 去绝对值符号的方法：零点分段法
（1） 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即a?0，a?0还是a?0）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．
（2） 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把
这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．
四. 零点分段法的步骤
（1） 找零点； （2） 分区间； （3） 定正负； （4） 去符号．
五. 含绝对值的方程
（1） 求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解． （2） 在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相比较，去掉不符合要求
的．
六. 绝对值三边不等式:
a?b?a?b?a?b
七. 含有绝对值的代数式的极值问题
对于代数式x?a1?x?a2?x?a3??x?an（a1?a2?a3??an）
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（1） 如果n为奇数，则当x?an?1时取最小值； （2） 如果n为偶数，则当an?x?an时取最小值.
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典型例题
一. 绝对值的化简
【例1】 已知b?a?0?c，化简：a?a?b?c?b?a?c．
【例2】 已知a、b、c的大小关系如图所示，求
c
【例3】 已知a、b、c、d满足a??1?b?0?c?1?d，a?1?b?1,1?c?1?d，求a?b?c?d的值.
a 0 b a?bb?cc?aab?ac???的值. a?bb?cc?aab?ac
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能力的飞跃
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【例4】 化简：x?1?x?2. 初一数学超前班
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【例5】 化简：
【例6】 化简：
【例7】 化简：
x?5?2x?5. 2x?3?x?1?3x?2. x?5?4?x?2x?3；
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【例8】 化简：x?2x?1.
【例9】 化简：x?1?2?x?1.
【例10】 已知x?0，化简：x?2xx?3?x.
【例11】 若2?x?5，化简：x?5x?2x?5?x?2?xx.
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【例12】 若a?0，且x?
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a，化简：x?1?x?2. a7 年级
【例13】 若2x?4?5x?1?3x?4的值恒为常数，求x满足的条件及此常数的值.
【例14】 a、b为有理数，且a?b?a?b，试求ab的值.
二. 绝对值方程
【例15】 解方程：
（1）?2(x?1)?x?5； （2）?5x?7??6； （3）x?4?4x?26．
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