初中数学竞赛 - 绝对值

初一数学超前班

第2讲 绝对值

7 年级

知识总结归纳

一. 绝对值的定义

正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.

?a,(a?0)?a,(a?0)?a,(a?0)?a??0,(a?0)或a??或a??

?a,(a?0)?a,(a?0)????a,(a?0)?二. 绝对值的几何意义

a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.

三. 去绝对值符号的方法:零点分段法

(1) 化简含绝对值的式子,关键是去绝对值符号.先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数a的正负(即a?0,a?0还是a?0).如果已知条件没有给出其正负,应该进行分类讨论.

(2) 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数(或式子)等于0,得到相应的未知数的值;再把

这些值表示在数轴上,对应的点(零点)将数轴分成了若干段;最后依次在每一段上化简原式.这种方法被称为零点分段法.

四. 零点分段法的步骤

(1) 找零点; (2) 分区间; (3) 定正负; (4) 去符号.

五. 含绝对值的方程

(1) 求解含绝对值的方程,主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号,化成一般形式再求解. (2) 在分类讨论化简绝对值符号时,要注意将最后的结果与分类范围相比较,去掉不符合要求

的.

六. 绝对值三边不等式:

a?b?a?b?a?b

七. 含有绝对值的代数式的极值问题

对于代数式x?a1?x?a2?x?a3??x?an(a1?a2?a3??an)

思维的发掘 能力的飞跃

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27 年级

(1) 如果n为奇数,则当x?an?1时取最小值; (2) 如果n为偶数,则当an?x?an时取最小值.

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典型例题

一. 绝对值的化简

【例1】 已知b?a?0?c,化简:a?a?b?c?b?a?c.

【例2】 已知a、b、c的大小关系如图所示,求

c

【例3】 已知a、b、c、d满足a??1?b?0?c?1?d,a?1?b?1,1?c?1?d,求a?b?c?d的值.

a 0 b a?bb?cc?aab?ac???的值. a?bb?cc?aab?ac

思维的发掘

能力的飞跃

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【例4】 化简:x?1?x?2. 初一数学超前班

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【例5】 化简:

【例6】 化简:

【例7】 化简:

x?5?2x?5. 2x?3?x?1?3x?2. x?5?4?x?2x?3;

思维的发掘 能力的飞跃

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【例8】 化简:x?2x?1.

【例9】 化简:x?1?2?x?1.

【例10】 已知x?0,化简:x?2xx?3?x.

【例11】 若2?x?5,化简:x?5x?2x?5?x?2?xx.

思维的发掘 4

能力的飞跃

【例12】 若a?0,且x?

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a,化简:x?1?x?2. a7 年级

【例13】 若2x?4?5x?1?3x?4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的值.

【例14】 a、b为有理数,且a?b?a?b,试求ab的值.

二. 绝对值方程

【例15】 解方程:

(1)?2(x?1)?x?5; (2)?5x?7??6; (3)x?4?4x?26.

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