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2.1.2 余弦定理
[A 基础达标]
1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( ) A．8 C．62
2
2
B．217 D．219
2
解析：选D.由余弦定理得：c＝a＋b－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以
c＝219，故选D.
13
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是( )
141A．－
51C．－
7
解析：选C.由余弦定理，
13 2222
得c2＝a＋b－2abcos C＝8＋7－2×8×7×＝9，
14所以c＝3，故a最大，
1B．－
61D．－
8
b2＋c2－a272＋32－821
所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－. 2bc2×7×37
3．在△ABC中，a，b，c为角A、B、C的对边，且b＝ac，则B的取值范围是( )
2
?π?A.?0，?
3???π?C.?0，? 6??
?π?B．?，π?
?3??π?D．?，π? ?6?
a2＋c2－b2（a－c）2＋ac（a－c）211
解析：选A.cos B＝＝＝＋≥，因为0 2ac2ac2ac22B∈?0，?. 3 ?? π?? 4．在△ABC中，若bcos A＝acos B，则△ABC是( ) A．等边三角形 C．直角三角形 B．等腰三角形 D．锐角三角形 解析：选B.因为bcos A＝acos B， b2＋c2－a2a2＋c2－b2 所以b·＝a·. 2bc2ac所以b＋c－a＝a＋c－b. 所以a2＝b. 2 2 2 2 2 2 2 推荐学习K12资料 推荐学习K12资料 所以a＝b.故此三角形是等腰三角形． 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( ) A．a>b C．a＝b 2 2 B．a D．a与b的大小关系不能确定 2 2 2 2 2 2 解析：选A.由余弦定理，知c＝a＋b－2abcos C，则2a＝a＋b＋ab，即a＝b＋ab，则2 ?b?＋b－1＝0，所以b＝5－1<1，所以a>b，故选A. ?a?aa2?? 6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________． a2＋c2－b2a2＋b2－c2b2＋c2－a2222 解析：依题意得2b×＝a×＋c×，即a＋c－b＝ac，所以 2ac2ab2bc1π 2accos B＝ac>0，cos B＝.又0 23π 答案： 3 1 7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B， 4则c＝________． 解析：因为3sin A＝2sin B，所以3a＝2b.又a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c＝a＋b－2abcos C， 2 2 2 ?1?222 所以c＝2＋3－2×2×3×?－?＝16，所以c＝4. ?4? 答案：4 1acos B8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2＝b2＋c2，则的值为________． 4c1212a＋c－b22 解析：因为a＝b＋c，所以b＝a－c.所以cos B＝＝ 442ac2 2 2??2 a2＋c2－?a－c?4 2 2 2 1 ??5c2ac＝. 8a5c8a5acos B所以＝＝. cc8 a· 5 答案： 8 9．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2bsin A. (1)求B的大小； (2)若a＝33，c＝5，求b的值． 推荐学习K12资料 推荐学习K12资料 解：(1)由a＝2bsin A，根据正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，因为sin A≠0，所以sin B＝. π 因为△ABC为锐角三角形，所以B＝. 6(2)根据余弦定理，b＝a＋c－2accos B ＝27＋25－2×33×5×所以b＝7. 10．在△ABC中，若已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，并且sin C＝2sin Bcos A，试判断△ABC的形状． 解：由正弦定理，可得sin B＝，sin C＝. 2R2R3 ＝7. 2 2 2 2 12 bcb2＋c2－a2 由余弦定理，得cos A＝. 2bc代入sin C＝2sin Bcos A， b2＋c2－a2 得c＝2b·. 2bc整理得a＝b. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 所以a＋b－c＝ab， 2 2 2 a2＋b2－c21π 即cos C＝＝，故C＝. 2ab23 又a＝b，所以△ABC为等边三角形． [B 能力提升] 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c－a＝3bc，且b＝3a，则下列关系一定不成立的是( ) A．a＝c C．2a＝c 2 2 2 2 2 2 B．b＝c D．a＋b＝c 2 2 2 解析：选B.因为b＋c－a＝3bc， b2＋c2－a23 所以cos A＝＝. 2bc2 又因为A∈(0°，180°)，所以A＝30°.因为b＝3a，所以sin B＝3sin A＝ 3 .又因为2 B∈(0°，180°)，所以B＝60°或B＝120°.当B＝60°时，C＝90°，此时△ABC为直角三 角形，得到a＋b＝c，2a＝c.当B＝120°时，C＝30°，此时△ABC为等腰三角形，得到a推荐学习K12资料 2 2 2