推荐学习K122018年高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.2 余弦定理

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2.1.2 余弦定理

[A 基础达标]

1.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是( ) A.8 C.62

2

2

B.217 D.219

2

解析:选D.由余弦定理得:c=a+b-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76,所以

c=219,故选D.

13

2.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是( )

141A.-

51C.-

7

解析:选C.由余弦定理,

13 2222

得c2=a+b-2abcos C=8+7-2×8×7×=9,

14所以c=3,故a最大,

1B.-

61D.-

8

b2+c2-a272+32-821

所以最大角的余弦值为cos A===-. 2bc2×7×37

3.在△ABC中,a,b,c为角A、B、C的对边,且b=ac,则B的取值范围是( )

2

?π?A.?0,?

3???π?C.?0,? 6??

?π?B.?,π?

?3??π?D.?,π? ?6?

a2+c2-b2(a-c)2+ac(a-c)211

解析:选A.cos B===+≥,因为0

2ac2ac2ac22B∈?0,?.

3

??

π??

4.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是( ) A.等边三角形 C.直角三角形

B.等腰三角形 D.锐角三角形

解析:选B.因为bcos A=acos B,

b2+c2-a2a2+c2-b2

所以b·=a·. 2bc2ac所以b+c-a=a+c-b. 所以a2=b.

2

2

2

2

2

2

2

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所以a=b.故此三角形是等腰三角形.

5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=120°,c=2a,则( ) A.a>b C.a=b

2

2

B.a

D.a与b的大小关系不能确定

2

2

2

2

2

2

解析:选A.由余弦定理,知c=a+b-2abcos C,则2a=a+b+ab,即a=b+ab,则2

?b?+b-1=0,所以b=5-1<1,所以a>b,故选A. ?a?aa2??

6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=________.

a2+c2-b2a2+b2-c2b2+c2-a2222

解析:依题意得2b×=a×+c×,即a+c-b=ac,所以

2ac2ab2bc1π

2accos B=ac>0,cos B=.又0

23π

答案:

3

1

7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,

4则c=________.

解析:因为3sin A=2sin B,所以3a=2b.又a=2,所以b=3.由余弦定理可知c=a+b-2abcos C,

2

2

2

?1?222

所以c=2+3-2×2×3×?-?=16,所以c=4.

?4?

答案:4

1acos B8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2=b2+c2,则的值为________.

4c1212a+c-b22

解析:因为a=b+c,所以b=a-c.所以cos B==

442ac2

2

2??2

a2+c2-?a-c?4

2

2

2

1

??5c2ac=. 8a5c8a5acos B所以==. cc8

5

答案:

8

9.设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2bsin A. (1)求B的大小;

(2)若a=33,c=5,求b的值.

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解:(1)由a=2bsin A,根据正弦定理,得sin A=2sin Bsin A,因为sin A≠0,所以sin

B=.

π

因为△ABC为锐角三角形,所以B=.

6(2)根据余弦定理,b=a+c-2accos B =27+25-2×33×5×所以b=7.

10.在△ABC中,若已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,并且sin C=2sin Bcos A,试判断△ABC的形状.

解:由正弦定理,可得sin B=,sin C=.

2R2R3

=7. 2

2

2

2

12

bcb2+c2-a2

由余弦定理,得cos A=. 2bc代入sin C=2sin Bcos A,

b2+c2-a2

得c=2b·.

2bc整理得a=b.

又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以a+b-c=ab,

2

2

2

a2+b2-c21π

即cos C==,故C=. 2ab23

又a=b,所以△ABC为等边三角形.

[B 能力提升]

11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c-a=3bc,且b=3a,则下列关系一定不成立的是( ) A.a=c C.2a=c

2

2

2

2

2

2

B.b=c D.a+b=c

2

2

2

解析:选B.因为b+c-a=3bc,

b2+c2-a23

所以cos A==. 2bc2

又因为A∈(0°,180°),所以A=30°.因为b=3a,所以sin B=3sin A=

3

.又因为2

B∈(0°,180°),所以B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三

角形,得到a+b=c,2a=c.当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,得到a推荐学习K12资料

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