??b?e?px, py,u???pxapyb?1???a???a?a???1??u??b???b1a?b
7．下述间接效用函数：v?px,py,m??其中m是消费者的收入。
?v?p解：由罗伊恒等式xi?p,m???i可知：
?v?mm，求出x商品和y商品的马歇尔需求函数，px?py商品x的马歇尔需求函数为：
m?v?2px?py???pxm x?px, py,m???????v1px?py?mpx?py商品y的马歇尔需求函数为：
m?v?2px?py??py?m y?px, py,m???????v1px?py?mpx?py
8．如果将收入标准化为1后间接效用函数为：v?p1,p2???alnp1?blnp2，试求与其相对应的直接效用函数。
解：间接效用函数与直接效用函数存在对偶关系：
v?p??maxu?x,y?s.. tp1x? p2y?1u?x??minv?p?s.. tp1x? p2y?1
解规划：
min?alnp1?blnp2p1,p2
s.. tp1x?p2y?1构造拉格朗日函数：
L??alnp1?blnp2???1?p1x?p2y?
效用最大化的一阶条件为：
??a??p1 p1b??x2。 p2结合预算约束，可以求出：p1?ab，p2?。
?a?b?x1?a?b?x2ab。 ?bln?a?b?x1?a?b?x2代入间接效用函数，有：u?x1,x2???aln
9．当效用函数具有如下形式：u?x,y??min?x,y?。 （1）画出该效用函数的无差异曲线。
（2）该效用函数有对应的需求函数吗？
解：（1）由效用函数u?x,y??min?x,y?的形式表明商品是互补型的，因此，无差异曲线形状如图3-6所示。
图3-6 无差异曲线
（2）由于商品是互补的，消费者均衡点必满足x?y，均衡点位于预算线上，因此有：
pxx?pyy?I
把x?y代入预算线，可以求出商品需求曲线为：
x?px,py,I??y?px,py,I??I
px?pyI
px?py因此，该效用函数有对应的需求函数。
10．已知一个消费者有需求函数：x?20?m，其中，m是消费者的收入，p是x商品p的价格，问：
（1）当收入为100元，价格为5元时消费者会购买多少x商品？ （2）当价格由5元涨到10元时，总的价格效应是多少？ （3）斯拉茨基补偿是多少？
m解：（1）因为m?100，p?5，则有：x?20??40。即当收入为100元，价格为5
p元时消费者会购买40个单位的x商品。
（2）当价格涨到10元时，消费者购买量为：x?20?m?30，因此总的价格效应为-10。 p（3）价格变动后，为了消费原有的商品数量，消费者必须拥有的收入为：
m?p?x?20??10??40?20??200
因此，斯拉茨基补偿为200?100?100。
11．消费者的效用函数为u?x,y??x1/2y2/3，收入为120元，商品x的价格为10元，商品y的价格为8元。试计算：
（1）消费者均衡是多少？
（2）当x商品价格降为6元时，价格变化的斯拉茨基替代效应是多少？相应的收入效应是多少？
（3）当x商品价格降为6元时，价格变化的希克斯替代效应是多少？ 解：（1）效用函数是柯布—道格拉斯型，直接利用第三题的结论，可知两商品的需求函数分别为：
x?px,I??I?b?px?1???a?I?a?py?1???b?
y?py,I??
把px?10，py?8，I?120，a?12?3660?，b?代入，可以求出消费者均衡点为?,?。 23?77??3660?（2）当x商品价格下降为6元，消费者过点?,?的预算线为：
?77?606?36?y????x??
78?7?预算线对应的收入水平为696/7。
再次利用上述需求公式可以得到当消费者面临价格向量（6，8），收入为696/7时的均衡点：
6963487 x???4?496?1???3?6963487 y???3?498?1???4?因此，价格下降的斯拉茨基替代效应为因为价格变化后，消费者均衡点为：
x?3483696。 ??4974912060 ??4?76?1???3?相应的收入效应为
60369672。 ???7749491223?36??60??3660?（3）消费者过点?,?的无差异曲线为：x1/2y2/3?????。
?7??7??77?由
MUx3y6???y?x，代入无差异曲线有： MUy4x8?36??60??36??60?x??????x?????
?7??7??7??7?7612233747?36?7?60?736所以，x商品价格从10元下降为6元的希克斯替代效应为?????。
7?7??7?34
12．对于函数x?px,py,y??2pxI，其中，x与y是两种商品，I为收入，试分析该函22px?py2p?x?2x2?0可知，x是正常商品，它的?Ipx?py数能否成为一个马歇尔需求函数，为什么？
答：如果该函数是一个马歇尔需求函数，由需求量在任何情况下随收入上升而上升。
222?x2I?px?py??4pxI2I?py?px??py?px??xp?p??又，当时，?0，因此在yx222222?px?px?p?p??p?p?xyxypy?px时，x的需求量随价格上升而上升。因此，当py?px时，该商品的替代效应为正。
而任何商品价格变化对该商品需求量所起的替代效应为非正，所以，该函数不是一个马
歇尔需求函数。
13．政府考虑以两种方式补贴低收入家庭。一种是实物性补贴（如食品补贴），另一种是现金补贴。请画图回答以下问题：
（1）请表明如果两种方式耗费相同的财政收入，被补贴人一般喜欢第二种方式的补贴。 （2）假设两种方式都耗费相同的财政收入，请解释在什么情况下，被补贴的人会感到这两种方式无差异。
解：（1）发放现金能够使得消费者根据自己的偏好任意选择自己最需要的商品来消费，这时的效用是最大的。如果发放实物的话，这些指定分配的物品可能并不是消费者最需要的，这时效用难以达到最大程度的满足。
图3-7 两种补贴方式对消费者效用的影响
如图3-7所示，在二维平面坐标图中，以纵轴（y轴）表示食品，横轴（x轴）表示消费者可任意选购的其他商品。这样，直线ACB就是在所有商品价格一定时发放现金所形成的预算约束线，此时消费者的无差异曲线为u1。而折线ACD则是发放实物所形成的预算约束线，在消费者偏好关系一致的前提下，无差异曲线为u2。可以看出u1?u2。这就是说，发
放现金能够给消费者带来更大的满足程度。
（2）消费者之所以存在以上偏好上的差异，原因就在于两种补助方式形成的预算约束是不一样的，发放实物时消费者无法根据自己的个人偏好自由选择想要购买的物品以使自己的效用最大化，如图3-8所示。只有当消费者对食品的偏好非常大的时候（无差异曲线移动至u3）。无论是发放实物还是发放现金，消费者都选择消费大量的食品以使自己的效用最大化。这时无论哪一种补贴方式都不会改变无差异曲线与预算线的切点，均衡消费数量不发生变化，两种补贴方式对消费者来说是无差异的。
图3-8 补贴方式无差异
14．一个人在给定的收入m（m?0）的情况下消费产品x和y，假设价格px?0和
py?0，且固定不变。他的偏好由CES效用函数表示：u?x,y??x??y???1/?（??0但??0）。
（1）推导马歇尔需求函数。
（2）求出间接效用函数。 解：（1）个人最优决策为：
max?x??y??x,y1/?
s.. tm?pxx?pyy?0构造拉格朗日函数：
L?x,y,????x??y??1/????m?pxx?pyy?
一阶条件为：
1?L????1??1??x?y?x??px?0 ?x1?L????1??1??x?y?y??py?0 ?y?L?m ?pxx? pyy?0 ?x1由此推出：
?px?px xx??，解得：??p??y??1py?y???1??1y ①
将此结果代入预算约束，得：
1?p?m?px?x??p??y???1y?pyy