北京市房山区中考数学一模压轴题的拓展思考

2013年北京各区一模压轴题的拓展思考

说明:北京各区模拟试题命制水准很高,兹对2013年北京各区模拟试题的第8、12、22、23、24、25题谈些理解与认识,或叫做拓展与思考,望批评指正。

1.房山一模

第8题:

2013房山一模如图,正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点,运动路线是

A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x,以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是B ADyyyy 8888 P O4 1216xO481216xO816xO416ADBC BC

思考:什么是三角形?P点从A→D运动,三角形APD存在吗?

第12题:

2013房山一模如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的同心圆半径由内向外依次为1,2,3,4,…,同心圆与直线y?x和y??x分别交于A1,A2,A3,A4,…,则点A31

yx的坐标是 .(?42,?42).

y=-x思考:A5在哪里? 换个图?

分析:∵A1,A2,A3,A4…四点一个周期,而30÷4=7余3,

∴A31在直线y=﹣x上,即在第三象限,且在第8个圆上。

∴A31的坐标是(?42,?42)。

43A221oA3A1A4y=xx 1

第22题:

2013房山一模已知,矩形纸片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步骤进行操作:

如图①,在线段AD上任意取一点E,沿EB,EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用);

如图②,沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分,并在线段GH上任意取一点M,线段BC上任意取一点N,沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分;

如图③,将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°,使线段GB与GE重合,将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°,使线段HC与HE重合,拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片. (注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) (1)通过操作,最后拼成的四边形为

(2)拼成的这个四边形的周长的最小值为___________cm,最大值为__________cm. 详解:(1)平行四边形;

第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图.

图中,N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC,

M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2(GM+MH)=2GH=BC(三角形中位线定理), 又∵M1M2∥N1N2,∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形.

(2)拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6,左右两边的长等于线段MN的长,周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN.

∵BC=6为定值,∴四边形的周长取决于MN的大小.

周长最小:当MN垂直于BC时,MN最短,等于原来矩形的边AB的一半,等于4,于是这个平行四边形的周长的最小值为2(6+4)=20; 周长最大:当E与A重合,M与G重合,N与C重合时,MN最长,等

224+6=213,于矩形对角线的长度此时,这个四边形的周长最大,

2

其值为12+413

第23题:

2013房山一模已知:抛物线y??x?bx?c,当1<x<5时,y值为正;当x<1或x>5时,y值为负.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若直线y?kx?b(k≠0)与抛物线交于点A(

23,m)和B(4,n),求直线的解析式. 2(3)设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F,交二次函数于H、G.

①求t的取值范围

②是否存在适当的t值,使得EFGH是平行四边形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.

解:(1)y??x?6x?5. (天津特色). (2)y?21x?1. 2?33?t?(3)①根据题意?,解得 ?t?2 (未指明H、G不与A、B重合,取等号).22?t?2?4?②t=

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第24题:

2013房山一模(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:BE = AD.

(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是 (只填序号即可)

①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°; (3)如图2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.

E

ACC AA PEPP DBDB DBCD

图1

FF(2)①②③都正确

图2 (3)证明:在PE上截取PM=PC,联结CM

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