2013年北京各区一模压轴题的拓展思考
说明：北京各区模拟试题命制水准很高，兹对2013年北京各区模拟试题的第8、12、22、23、24、25题谈些理解与认识，或叫做拓展与思考，望批评指正。
1．房山一模
第8题：
2013房山一模如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是
A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是B ADyyyy 8888 P O4 1216xO481216xO816xO416ADBC BC
思考：什么是三角形？P点从A→D运动，三角形APD存在吗？
第12题：
2013房山一模如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y?x和y??x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A31
yx的坐标是 ．（?42,?42）.
y=-x思考：A5在哪里？ 换个图？
分析：∵A1，A2，A3，A4…四点一个周期，而30÷4=7余3，
∴A31在直线y=﹣x上，即在第三象限，且在第8个圆上。
∴A31的坐标是（?42,?42）。
43A221oA3A1A4y=xx 1
第22题：
2013房山一模已知，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行操作：
如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；
如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) （1）通过操作，最后拼成的四边形为
（2）拼成的这个四边形的周长的最小值为___________cm,最大值为__________cm． 详解：（1）平行四边形；
第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图．
图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理）， 又∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形．
（2）拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6，左右两边的长等于线段MN的长，周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．
∵BC=6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．
周长最小：当MN垂直于BC时，MN最短，等于原来矩形的边AB的一半，等于4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（6+4）=20； 周长最大：当E与A重合，M与G重合，N与C重合时，MN最长，等
224+6=213，于矩形对角线的长度此时，这个四边形的周长最大，
2
其值为12+413
第23题：
2013房山一模已知：抛物线y??x?bx?c，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若直线y?kx?b（k≠0）与抛物线交于点A（
23，m）和B（4，n），求直线的解析式. 2（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.
①求t的取值范围
②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.
解：（1）y??x?6x?5. （天津特色）． （2）y?21x?1. 2?33?t?（3）①根据题意?，解得 ?t?2 （未指明H、G不与A、B重合，取等号）．22?t?2?4?②t=
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第24题：
2013房山一模（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE = AD.
（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是 （只填序号即可）
①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.
E
ACC AA PEPP DBDB DBCD
图1
FF（2）①②③都正确
图2 （3）证明：在PE上截取PM=PC，联结CM
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