课时作业17 数列求和
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式为an＝2＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( C ) A．2＋n－1 C．2
n＋1n2
nB．2
2
3
n＋1n＋n－1
n＋1
2
＋n－2
1
2
D．2＋n－2
n解析：Sn＝(2＋2＋2＋…＋2)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝22．数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则S2 012等于( A ) A．1 006 C．2 012
1
B．－1 006 D．－2 012
n＋n－2.
2
解析：S2 012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 011＋2 012)＝1 006. 3．数列{an}的通项公式是an＝A．11 C．120 解析：∵an＝
1
，若前n项和为10，则项数为( C )
n＋n＋1
B．99 D．121
n＋n＋1
＝n＋1－n，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n) ＝n＋1－1，
令n＋1－1＝10，得n＝120.
111
4．数列1，，，…，的前n项和为( B )
1＋21＋2＋31＋2＋…＋n2nA． 2n＋1C．
B．2n n＋1
n＋2
n＋1
nD． 2n＋1
1?2?1
，分裂为两项差的形式为an＝2?－?，令nn＋1?nn＋1?
n解析：该数列的通项为an＝＝1,2,3，…，则
1111111??1－＋－＋－＋…＋－Sn＝2?， nn＋1??22334?∴Sn＝2?1－
?
?
1?2n＝. n＋1??n＋1
111
5．数列1×，2×，3×，…的前n项和为( B )
2481nA．2－n－n＋1
2212nC．(n＋n－2)－n 22
B．2－
12
n－1
－n
2
n1nD．n(n＋1)＋1－n－1 22
1111
解析：∵Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×n，①
248211111
∴Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1.② 24822111111由①－②，得Sn＝＋＋＋…＋n－n×n＋1
22482211?
1－n???2?2?1＝－n×n＋1
121－21n＝1－n－n＋1，
221n∴Sn＝2－n－1－n.
22
6．数列{an}的通项公式an＝ncosA．1 006 C．503
解析：∵函数y＝cos
nπ
2
，其前n项和为Sn，则S2 012等于( A )
B．2 012 D．0
nπ
2π
的周期T＝＝4， 2π
2
∴可分四组求和：a1＋a5＋…＋a2 009＝0，
a2＋a6＋…＋a2 010＝－2－6－…－2 010
＝
503×－2－2 010
＝－503×1 006，
2
a3＋a7＋…＋a2 011＝0，
a4＋a8＋…＋a2 012＝4＋8＋…＋2 012
＝
503×4＋2 012
＝503×1 008.
2
故S2 012＝0－503×1 006＋0＋503×1 008 ＝503×(－1 006＋1 008)＝1 006. 二、填空题
10n2
7．数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝(10－1)＋n.
9解析：数列的通项公式an＝10＋(2n－1)．
所以Sn＝(10＋1)＋(10＋3)＋…＋(10＋2n－1)＝(10＋10＋…＋10)＋[1＋3＋…＋
2
nn2n101－10
(2n－1)]＝
1－10
n＋
n1＋2n－1
210n2＝(10－1)＋n. 9
*
8．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝153. 解析：∵an＝2n－7，
∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，a5＝3，…，a15＝23，
12×1＋23
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153.
2111111
9．数列2，2，2，2，…的前n项和等于－
1＋32＋63＋94＋12183解析：∵an＝
1?11?1
＝?－?， n＋3n3?nn＋3?
2
3n＋12n＋11
.
n＋1n＋2n＋3
2
1??1??11??11??1－1?＋?1－1??
∴Sn＝??1－?＋?－?＋?－?＋…＋?????4??25??36?3???n－1n＋2??nn＋3??111?1?11
－－＝?1＋＋－
23n＋1n＋2n＋3?3??11
＝－183
3n＋12n＋11
.
n＋1n＋2n＋3
2
2
三、解答题
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝n＋n. (1)求数列{an}的通项公式；
?1?
(2)设??的前n项和为Tn，求证Tn<1.
?Sn?
解：(1)∵Sn＝n＋n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋n－(n－1)－(n－1)＝2n， 又a1＝2满足上式，∴an＝2n(n∈N)． (2)证明：∵Sn＝n＋n＝n(n＋1)， 1∴＝
2
*
2
2
2
Snn111
＝－， n＋1nn＋1
1??1??11??1
∴Tn＝?1－?＋?－?＋…＋?－?
?2??23??nn＋1?＝1－1
. n＋1
*
∵n∈N，∴
1
>0，即Tn<1. n＋1
2n－1
11．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·2(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
.
解：(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(2
－1
2n＋2
2n－3
＋…＋2)＋2＝2
2(n＋1)－1
.
2n－1
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2
.