2007年考研数学（三）真题解析
1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当x?0时，1?e?x?x，1?x?11x，1?cosx212?x?2?1x， 2 故用排除法可得正确选项为（B）.
ln 事实上，lim?x?01?x111??1?xlimln(1?x)?ln(1?x)?lim1?x1?x2x?1，
x?0?1xx?0?x2x 或ln1?x?ln(1?x)?ln(1?x)?x?o(x)?x?o(x)?x?o(x)1?xx.
所以应选（B）
【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.
2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的
方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.b5E2RGbCAP 【详解】取f(x)?|x|，则limx?0f(x)?f(?x)?0，但f(x)在x?0不可导，故选（D）.
x 事实上，
在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得f(0)?0.
在（C）中，limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)?lim?0，所以(C)项存在，则f(0)?0,f?(0)?limx?0x?0xx?0x正确，故选(D)
【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. p1EanqFDPw 类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.
3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得
11? F(3)??21???22?12113?F(2)??2??， ，???2228?21 / 17
121f(x)dx??f(x)dx?f(x)dx??1??. ?0??2?02233 所以 F(3)?F(2)?F(?2)，故选（C）.
44 F(?2)??202【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.
类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）
第一篇【例3.38】【例3.40】.DXDiTa9E3d
4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解】由题设可知，
?2?x??,sinx?y?1，则0?y?1,??arcsiny?x??，
故应选（B）.
【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.
类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.RTCrpUDGiT
5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D）.
商品需求弹性的绝对值等于
dQP?2P???1?P?40， dPQ160?2P 故选（D）.
【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.
相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.
6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断. 【详解】limy?lim??ln1?e????,limy?lim??ln1?e??0，
x???x???xx???x???x???? 所以 y?0是曲线的水平渐近线；
limy?lim??ln1?e???，所以x?0是曲线的垂直渐近线； x?0x?0xx1exx?ln?1?e?ln1?e???lim1?ex?1， y lim?limx?0?limx???xx???x???x???xx1?1?x???1?x???1??x??? b?lim?y?x??x????1lim?x????x??n1??ex???l??x，所以0y?x是曲线的斜渐近线.
故选（D）.
【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在
水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e当x???,x???时的极限不同.5PCzVD7HxA 2 / 17
x 类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.jLBHrnAILg
7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组?1,?2,?3构造的另一向量组?1,?2,?3的线性相关性. 一般令
??1,?2,?3????1,?2,?3?A，若A?0，则?1,?2,?3线性相关；若A?0，则?1,?2,?3线性无
关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.xHAQX74J0X 【详解】由??1??2????2??3????3??1??0可知应选（A）.
或者因为
10?1?10?1???110??1??2,?2??3,?3??1????1,?2,?3????，而?110?0， ?0?11?0?11?? 所以?1??2,?2??3,?3??1线性相关，故选（A）.
【评注】本题也可用赋值法求解，如取?1??1,0,0?,?2??0,1,0?,?3??0,0,1?，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确
选项.LDAYtRyKfE 完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.Zzz6ZB2Ltk
8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. dvzfvkwMI1 TTT??2【详解】 由?E?A?111??(??3)2可得?1??2?3,?3?0， ??211??21 所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.
所以A与B不相似，但是A与B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，故选（B）. 【评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.
9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝ ?C3p(1?p)p?3p(1?p)，
故选（C）.
【评注】本题属基本题型.
类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】
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