2019年
配餐作业(三十四) 数列求和与数列的综合应用
(时间：40分钟)
1．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn。已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N。 (1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和。 解析 (1)由题意得?又当n≥2时，由
??a1＋a2＝4，
*
??a2＝2a1＋1，
则?
??a1＝1，
??a2＝3。
an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，
得an＋1＝3an。
所以，数列{an}的通项公式为an＝3(2)设bn＝|3
n－1
*
n－1
，n∈N。
*
－n－2|，n∈N，b1＝2，b2＝1。
n－1
当n≥3时，由于3故bn＝3
n－1
>n＋2，
－n－2，n≥3。
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3。 当n≥3时， 91－3
Tn＝3＋
1－3
n－2
－
n＋7
2
n－2
3－n－5n＋11＝，
2
n2
2，n＝1，??3，n＝2，
所以T＝?
3－n－5n＋11
，n≥3，n∈N。??2
nn2
*
答案 (1)an＝3
n－1
，n∈N
*
??3，n＝2，
(2)T＝?
3－n－5n＋11
，n≥3，n∈N。??2
nn2
*
2，n＝1，
1
112*
2．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N)，且－＝，S6＝63。
a1a2a3
(1)求{an}的通项公式；
*
(2)若对任意的n∈N，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{－1
n2nb}的前2n项和。
6
1－q解析 (1)设数列{an}的公比为q。由已知，有－＝2，解得q＝2，或q＝－1，又由S6＝a1·＝63，
a1a1qa1q1－q1
2
1－2n－1
知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1。所以an＝2。
1－2
6
2019年
1
(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝
2
111n－1n(log22＋log22)＝n－，即{bn}是首项为，公差为1的等差数列。 222设数列{(－1)bn}的前n项和为Tn，则
22222T2n＝(－b21＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b2n－1＋b2n)
n2
＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n 2nb1＋b2n ＝ 2 ＝2n。 答案 (1)an＝2
n－1
2
(2)2n
2
7
3．(2016·沈阳三模)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，a＝2,3sinC＝4sinB。
8(1)求b，c的值；
(2)若等差数列{an}中a1＝a，a2＝b。 ①求数列{an}的通项公式；
②设bn＝(－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn。
解析 (1)在△ABC中，3sinC＝4sinB，由正弦定理可得，3c＝4b。 93c7ca＝b＋c－2bccosA＝c2＋c2－2··c·＝，
16484
2
2
2
2
n又a＝2，所以c＝4，b＝3。
(2)①设等差数列{an}的公差为d，由题有d＝a2－a1＝1， 从而an＝n＋1。 ②当n为偶数时：
nTn＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－n＋n＋1)＝。
2
当n为奇数时：
n－1n＋3
Tn＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋[－(n－1)＋n]－(n＋1)＝－(n＋1)＝－。
2
2
n??2，n＝2k所以T＝?n＋3
－??2，n＝2k－1
n
(k∈N)。
*
答案 (1)b＝3，c＝4 (2)①an＝n＋1
??2，n＝2k②T＝?n＋3
－??2，n＝2k－1
nn
(k∈N)
*
2019年
1n4．(2017·湟川中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a＝(Sn,1)，b＝(2－1，)，满足条件a∥b。
2(1)求数列{an}的通项公式；
?1?x(2)设函数f(x)＝??，数列{bn}满足条件b1＝1，f(bn＋1)＝
f?2?
①求数列{bn}的通项公式；
②设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn。 1nn＋1
解析 (1)∵a∥b，∴Sn＝2－1，Sn＝2－2。
2当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2； 当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式， ∴an＝2。
nn1－bn－1
。
bnan?1?x(2)①∵f(x)＝??，f(bn＋1)＝
f?2?
1
，
－1－bn111?1?∴??bn＋1＝，∴＝。
2bn＋121＋bn?2??1?－1－b?2?n??∴bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1。
又∵b1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴bn＝n。
bnn12n－1n②cn＝＝n，Tn＝1＋2＋…＋n－1＋n，
an22222
1112n－1n两边同乘得，Tn＝2＋3＋…＋n＋n＋1，
222222上述两式相减得
11111nTn＝1＋2＋3＋…＋n－n＋1 22222211?
1－n???2?2?nn＋2＝－n＋1＝1－n＋1，
1221－2∴Tn＝2－
n＋2
2
n(n∈N)。
n*
答案 (1)an＝2 (2)①bn＝n ②Tn＝2－(n∈N)
*
n＋2
2
n
(时间：20分钟)
1．(2016·河南五市二联)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且