高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量

学习目标:1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点)2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点)3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1.向量与数量

(1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量. (2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示

(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.

→→→

(2)向量可以用有向线段表示.向量AB的大小,也就是向量 AB的长度(或称模),记作|AB|.向量也可以用字母a,b,c,…表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,→→例如,AB,CD.

思考:(1)向量可以比较大小吗? (2)有向线段就是向量吗?

[提示] (1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具,它不是向量.

3.向量的有关概念

零向量 单位向量 平行向量 (共线向量) 长度为0的向量,记作0 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 向量a,b平行,记作 规定:零向量与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等,记作a=b [基础自测] 相等向量 1

1.思考辨析

(1)零向量没有方向.( )

→→

(2)向量AB的长度和向量BA的模相等.( ) (3)单位向量都平行.( ) (4)零向量与任意向量都平行.( )

[解析] (1)错误.零向量的方向是任意的.(2)正确.(3)错误.单位向量的方向不一定相同或相反,所以不一定平行.(4)正确.

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2.有下列物理量:①质量;②温度;③角度;④弹力;⑤风速.其中可以看成是向量的有( )

A.1个 C.3个

B [①②③不是向量,④⑤是向量.]

3.如图2-1-1,四边形ABCD是平行四边形,则图中相等的向量是________(填序号).

B.2个 D.4个

图2-1-1

→→→→(1)AD与BC;(2)OB与OD; →→→→(3)AC与BD;(4)AO与OC.

(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知: →→

AD=BC,OB≠OD AC≠BD,AO=OC.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

→→→

→→→

向量的有关概念 判断下列命题是否正确,请说明理由: (1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;

(2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b; (4)由于0方向不确定,故0不与任意向量平行; (5)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.

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[思路探究] 解答本题应根据向量的有关概念,注意向量的大小、方向两个要素. [解] (1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两个向量不能比较大小.

(2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们的方向关系. (3)正确.因为|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件,可得a=b. (4)不正确.依据规定:0与任意向量平行.

(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不定. [规律方法] 1.理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等. (2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向. 2.共线向量与平行向量.

(1)平行向量也称为共线向量,两个概念没有区别; (2)共线向量所在直线可以平行,与平面几何中的共线不同; (3)平行向量可以共线,与平面几何中的直线平行不同.

提醒:解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度. [跟踪训练] 1.给出下列命题: ①若a∥b,b∥c,则a∥c.

②若单位向量的起点相同,则终点相同.

③起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; →→

④向量AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上. 其中正确命题的序号是________. ③ [①错误.若b=0,则①不成立;

②错误.起点相同的单位向量,终点未必相同;

③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的.

→→

④错误.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量AB,CD必须在同一直线上.]

向量的表示及应用 (1)如图2-1-2,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出________个向量.

图2-1-2

(2)在如图2-1-3所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:

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