专题2.7 对数与对数函数
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
1
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函2数的图象；
3.体会对数函数是一类重要的函数模型；
4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
知识点一 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； M
②loga＝logaM－logaN；
N③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
n
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
m
logaN
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
logab知识点三 对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质
a>1 0 图象 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 性质 当x>1时，y>0； 当0 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 【特别提醒】 1.换底公式的两个重要结论 1n (1)logab＝；(2)logambn＝logab. logbam其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 1?3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，??a，－1?，函数图象只在第一、四象限. 考点一 对数的运算 1－ lg－lg 25?÷【典例1】 （2019·广东中山一中模拟）计算：?1002＝________. ?4? 1 当x>1时，y<0； 当0 1?－2 22×【解析】原式＝(lg 2－lg 5)×1002＝lg?10＝lg 10×10＝－2×10＝－20. ?2×5?－2 2 1 【方法技巧】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的 积、商、幂再运算. 3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 5 【变式1】（2019·河南新乡一中模拟）已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b 2＝________. 【答案】4 2 15 【解析】设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝， t2所以t＝2，则a＝b2. 又ab＝ba，所以b2b＝bb， 即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4. 考点二 对数函数图象及其应用 1 【典例2】（2019·广西桂林十八中模拟） 当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( ) 2A.?0， 2 ? 2?2 B.?，1? 2??2? D．(2，2) C．(1，2) 【答案】B 1 【解析】易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞42， 2解得a＞ 22 ，∴＜a＜1，故选B. 22 1 【方法技巧】 (1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【变式2】 （2019·四川棠湖中学模拟）设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( ) A．x1x2＜0 C．x1x2＞1 B．x1x2＝0 D．0＜x1x2＜1 【答案】D 【解析】作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图． 显然x1＜0，x2＜0. 不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0， 所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)， 此时10x1＜10x2， 即lg(－x1)＜－lg(－x2)， 由此得lg(x1x2)＜0， 所以0＜x1x2＜1，故选D. 考点三 比较对数值的大小 【典例3】【2019年高考天津理数】已知a?log52，b?log0.50.2，c?0.50.2，则a,b,c的大小关系为（ ） A．a?c?b C．b?c?a 【答案】A 【解析】因为a?log52?log55? B．a?b?c D．c?a?b 1， 2b?log0.50.2?log0.50.25?2， 0.5?c?0.510.2?0.5，即 01?c?1， 2所以a?c?b. 故选A. 【方法技巧】 （1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较 （2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较 （3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较 a?log20.2，b?20.2，c?0.20.3，则（ ） 【变式3】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知