?fx?dxdydz????x??y??z??dxdydz dt?? 即：
du1???xx??yx??zx?
? ?fx??????dt???x?y?z? 或写成：
?u?u?u?u1???xx??yx??zx?
? ?u?v?w?fx???????t?x?y?z???x?y?z? ?v?v?v?v1???xy??yy??zy??同
理：?u?v?w?fy??????t?x?y?z???x?y?z?? ?w?w?w?w1???xz??yz??zz
?u?v?w?fz?????t?x?y?z???x?y?z? 分析第一式： ?
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?u?u?u?u1???xx??yx??zx?
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?，?yx????，?????代入上式, ???x?y?zx ?x?x?z????
将：?xx??p?2? 可得：
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?u?v?w?fx?????2?2?2???t?x?y?z??x??x?y?z? ??2v?2v?2v??v?v?v?v1?p 同
理： ?u?v?w?fy??????x2??y2??z2?? ?t?x?y?z??y????2w?2w?2w??w?w?w?w1?p ?u?v?w?fz?????2?2?2???t?x?y?z??z?y?z???x 即， ?1
?(??)?f??p???2 ?t?
这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，又称为纳维—斯托克斯（navier-stokes ）方程，简称为 n-s方程。 若：
??0，即为理想流体时，n-s方程?欧拉运动微分方程。 二.求解n-s方程的定解条件：
1.流—固交界面上的无滑移条件和无穿透条件：
流—固交界面上的流体的切向速度等于固壁的运动速度。 如图： y?0处：u?0 流—固交界面上的流体的法向速度为零。如图：y?0处：v?0
2.无穷远处的无扰动条件：
即，粘性流体运动的任何变化都不会将影响延伸至无穷远处。 3.流体交界面上的应力连续条件：
在不同流体的交界面上，界面两侧的流体的应力相等。 如图，在液体自由面上，有： y?h时：?液?? ?u
??气?0 ?y
在两种液体界面上，有： y?h时：?1 ?u?u ??2 ?y?y
8.3纳维－斯托克斯方程的解析解
研究 n-s 方程的精确解具有理论和实际意义:
在复杂的粘性流动问题中，可以用情况相近的精确解作为初步估算或者摄动法的求解基础； 在发展新的数值计算方法时，可以运用有精确解的算例来判断近似解的精确程度；
在研究某些新问题时，也常常从精确解出发，探讨在原有方程或者定解条件中加入描写新现象的项后会引起什么变化；等等。 求解 n-s 方程的主要困难是：方程是非线性的。
对于某些几何形状简单的流场，当流体沿某一坐标轴单向流动时，刚好使对流项恒等于零，从而有可能求出精确解。
比如：两平行平板之间的定常流动；完全发展的定常管流；同轴旋转的圆柱面间的流动；沿有吮吸作用的平壁面的流动；非定常滑移平板引起的流动；圆管中非定常流动等。
另一类问题中的对流项并不恒等于零，但却能够被化成较简单的形式，这样就使 n-s 方程可简化为常微分方程，并且也能求出精确解。 比如：收缩或者扩张通道中的平面定常流动，驻点附近的流动和旋转圆盘引起的流动等。
一. 平行平板之间的定常流动：
如图为两平行平板间的粘性流体的定常流动(忽略重力的影响)。求流体速度分布。
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u?u(y)??????(1) ?u
?0 即：?x ?
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u?????2?2????????(2) ?x??x??x?y?? ? 0?? 1?p
??????(3) ??y