等差数列的性质总结
1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；
2．等差数列通项公式：
* an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)， 首项:a1，公差:d，末项:an
推广： an?am?(n?m)d． 从而d?
3．等差中项
an?am；
n?ma?b或2A?a?b 2（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?（2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2
4．等差数列的前n项和公式：
n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项 Sn?
5．等差数列的判定方法
?（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．
（2） 等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2． （3） 数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。
2（4） 数列?an?是等差数列?Sn?An?Bn,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
?定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．
7.提醒：等差数列的通项公式an及前n项和Sn公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质： （1）当公差d?0时，
等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；
n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 （3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.
前n和Sn?na1?注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，
（4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列 (5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列
（6）数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列 （7）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和
1.当项数为偶数2n时，
*S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan
2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1
2S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd
S奇?nan?anS 偶nan?1an?12、当项数为奇数2n?1时，则 ???S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1?S奇?(n?1)an+1S奇n?1??S奇?S偶?a????? n+1??S偶?nan+1S偶n
等差数列练习： 一、选择题
1.已知为等差数列，a1?a3?a5?105,a2?a4?a6?99，则
a20等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
2.设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于( )
A．1 B.
53 C. - 2 D. 3 4.已知?an?为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝( )
A.－2 B.－
112 C.2 D.2 5.若等差数列{an}的前5项和S5?25，且a2?3，则a7?( )
A.12 B.13 C.14 D.15 6.在等差数列?an?中， a2?a8?4,则 其前9项的和S9等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
7.已知{an}是等差数列，a1?a2?4，a7?a8?28，则该数列前10项和S10等于（ A．64 B．100 C．110 D．120 8.记等差数列{a1n}的前n项和为Sn，若a1?2，S4?20，则S6?（ ） A．16 B．24 C．36 D．48 9.等差数列?an?的前n项和为Sx若a2?1,a3?3,则S4＝（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（ ）A．63 B．45 C．36 D．27
11.已知等差数列{an}中，a7?a9?16,a4?1,则a12的值是 （ ） A．15
B．30
C．31
D．64
6.在等差数列?an?中， a5?a13?40，则 a8?a9?a10?（ ）。
A．72 B．60 C．48 D．36
1、等差数列?an?中，S10?120，那么a1?a10?（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2、已知等差数列?an?，an?2n?19，那么这个数列的前n项和sn（ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列?a1n?的公差d?2，a2?a4???a100?80，那么S100? A．80 B．120
C．135
D．160．
）
4、已知等差数列?an?中，a2?a5?a9?a12?60，那么S13? A．390 B．195 C．180 D．120
5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）
A. 0 B. 90 C. 180 D. 360
6、等差数列?an?的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )
A. 130 B. 170 C. 210 D. 260
7、在等差数列?an?中，a2??6，a8?6，若数列?an?的前n项和为Sn，则（ ） A.S4?S5 B.S4?S5 C. S6?S5 D. S6?S5
8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
9、已知某数列前n项之和n3为，且前n个偶数项的和为n2(4n?3)，则前n个奇数项的和为（ ）
A．?3n2(n?1) B．n2(4n?3) C．?3n2 D．
12n3 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（A．6 B．8 C．10 D．12
1．一个等差数列的第6项等于13，前5项之和等于20，那么 （ ） （A）它的首项是-2，公差是3 （B）它的首项是2，公差是-3 （C）它的首项是-3，公差是2 （D）它的首项是3，公差是-2
2．在等差数列{an}中，已知前15项之和S15=60，那么a8= （ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=250，则a2+a8的值等于 （ ） （A）50 （B）100 （C0150 （D）200 4．设{an}是公差为d=-
12的等差数列，如果a1+a4+a7…+a58=50，那么a3+a6+a9+…+a60=（ ） （A）30 40 （C）60 （D）70
5．等差数列{an}中，a1+a4+a7=36，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为 （ ） （A）21 （B）24 （C）27 （D）30
6．一个数列的前n项之和为S2
n=3n+2n,那么它的第n(n≥２)项为 （ ）
（Ａ）３ｎ２ （Ｂ）３ｎ２
＋３ｎ （Ｃ）６ｎ＋１ （Ｄ）６ｎ－１
7．首项是
125，第１０项为开始比１大的项，则此等差数列的公差ｄ的范围是（ ） （Ａ）ｄ＞875 （Ｂ）ｄ＜325（Ｃ）875＜ｄ＜38325 （Ｄ）75＜ｄ≤25
8. 设｛a*
n｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，
则下列结论错误．．
的是（ ） A. d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
9．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，
则这个数列有（ ） 、 A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
10.设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.6 11.已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…＋a101＝0，则有（ ）
A. a1＋a101＞0 B. a2＋a100＜0 C. a3＋a99＝0 D.a51＝51
）B） （
12．在等比数列{an} 中，a9?a10?a,(a?0)a19?a20?b,则a99?a100? （ ）
b9b9b10b10A．8 B．9 C．9 D． ()
aaaa13.若lg2、lg(2-1)、lg(2+3)成等差数列,则x的值等于( )
A. 0 B. log25 C. 32 D. 0或32 14.若数列{an},已知a1=2,an+1=an+2n(n≥1),则a100的值为( ) A. 9900 B. 9902 C. 9904 D. 10100
1、若等差数列{an}的前三项和S3?9且a1?1，则a2等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
2、等差数列?an?的前n项和为Sn若a2?1,a3?3,则S4＝（ ） A．12 B．10 C．8 D．6
3、等差数列?an?的前n项和为Sn，若S2?2,S4?10,则S6等于（ ） A．12 B．18 C．24 D．42 4、若等差数列共有2n?1项n?Nx
x
?*?，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，
则项数为 （ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
5、设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80，， 则a11?a12?a13? （ ）
A． 120 B． 105 C． 90 D．75
1，且S100?145，则a2?a4?a6???a100?（ ） 2145A. 60 B. 85 C. D. 其它值
26、若数列?an?为等差数列，公差为
7、一个五边形的内角度数成等差数列，且最小角是46，则最大角是（ ） A. 108 B. 139 C. 144 D. 170
8、等差数列?an?共有3m项，若前2m项的和为200，前3m项的和为225，则中间m项的和为 （ ） A. 50 B. 75 C. 100 D. 125 二、填空题
1、等差数列?an?中，若a6?a3?a8，则s9? .
22、等差数列?an?中，若Sn?3n?2n，则公差d? .
?????3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是
4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3?a7??12,a4?a6??4，则前10项的和S10= 5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为
25，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是 2
16．已知等差数列{an}的公差是正数,则a2·a6=-12,a3+a5=-4,则前20项的和S20的值是_____. 17. 设数列｛an｝的通项为an＝2n－7（n∈N），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ ． 18．等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,则S19=___________. 19.有两个等差数列{an}、{bn},若
*
a13a1?a2?????an3n?1?,则=
b13b1?b2?????bn2n?320．等差数列{an}有2n+1项，其中奇数项的和是24,偶数项的和是18，那么这个数列的项数是_______ 24已知等差数列{an}的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2等于____________ 12.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11? 13. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 14.设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?5a3则
．
S9? S515.等差数列?an?的前n项和为Sn，且6S5?5S3?5,则a4? 已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3?a7??12,a4?a6??4，则前10项的和S10= 16.
17. 已知等差数列?an?的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。 14．等差数列{an}中,3(a3?a5)?2(a7?a10?a13)?24,则此数列前13项和是__________． 15．已知等差数列{an}的公差d =
1，且前100项和S100 = 145，那么a1 + a3 + a5 +…+a99 = . 216．等差数列{an}中，若a3+a5=a7－a3=24,则a2=______． 17．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于__ _． 18．设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项和为100，后2n项和是200，则该数列的中间n项和等于 ． 19．已知f(x+1)=x－4,等差数列{an}中,a1=f(x－1), a2=－值．
2
3,a3=f(x)．(1)求x值；（2）求a2+a5+a8+…+a26的23?an， (Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列； 2(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立； 20．已知数列{an}中，a1>0, 且an+1=
(Ⅲ)若a1 = 2，设bn = | an+1－an| (n = 1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn<
1． 2