华侨中学高三数学(理科)第二轮复习
专题:数形结合思想 教学地点:厦门一中集美分校 高三(4)班
授课教师:华侨中学 王磊 2016.03.24
【思想方法概述】
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用来研究方程根的情况,讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等.对这类内容的选择题、填空题,数形结合特别有效.从2015年的高考题来看,数形结合的重点是研究“以形助数”.预测2016年高考中,仍然会沿用以往的命题思路,借助各种函数的图象和方程的曲线为载体,考查数形结合的思想方法,在考题形式上,不但有小题,还会有解答题,在考查的数量上,会有多个小题考查数形结合的思想方法.复习中应提高用数形结合思想解题的意识,画图不能太草,要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系. 以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解) 网][来源:Zxxk.Com][来源学科网][来源:Zxxk.Com][来源:Z*xx*k.Com][来源学科借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系,把形转化为数,即以形作为手段,数作为目的的解决数学问题的数学思想. 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的的解决问题的数学思想.[来源:Zxxk.Com]数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与[来源学&科&网Z&X&X&K][来源学_科_网]灵活性的有机结合. 1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分 为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则:
(1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应.
(2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.
(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.
3.数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点 (1)集合的运算及Venn图; (2)函数及其图象;
(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象; (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线;
(5)对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可; (6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的
问题,可通过函数的图象求解(函数
的零点、顶点是关键点),做好知识的迁移与综合运用.
4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点:
(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域; (2)用图象法讨
论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法
,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解;
(3)在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的,不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证.
?x?1?0y?【例题1】. 【2015课标全国Ⅰ理15】若x,y满足约束条件?x?y?0,则的最大值
x?x?y?4?0?为 .
【变式】设点P(x,y)为圆x2?y2?1上的动点.
(1) 求(x?2)2?(y?1)2的取值范围 (2)求x?y的取值范围; (3)求
【规律方法】
如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,一般考虑用数形结合的方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:
(1)y=kx+b中k表示直线的斜率,b表示直线在y轴上的截距. b-n(2)表示坐标平面上两点(a,b),(m,n)连线的斜率. a-m
(3)(a-m)2+(b-n)2表示坐标平面上两点(a,b),(m,n)之间的距离.
只要具有一定的观察能力,再掌握常见的数与形的对应类型,就一定能得心应手地运用数形
y?1的取值范围 x?2结合的思想方法.
【例题2】已知0?a?1.则方程a|x|?|logax|的实根个数为
【变式】已知关于x的方程x?4x?5?m有四个不相等的实根,则实数m的取
2值范围为
【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路,以形辅数。
【例题3】(2015课标全国Ⅰ理10)已知抛物线C:y?8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C得一个焦点,若PF?4FQ,则QF?( ) A.
【规律与总结】1、抛物线的定义;2、抛物线的标准方程;3、向量共线;4、数形结合
【变式】已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是( ) A.5 B.8 C.17-1 D.5+2
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