(檀)随机过程综合练习新版

随机过程综合练习题

一、填空题(每空3分) 第一章

1.X1,X2,?Xn是独立同分布的随机变量,Xi的特征函数为g(t),则

X1?X2???Xn的特征函数是 。

2.EE(XY)? 。

3. X的特征函数为g(t),Y?aX?b,则Y的特征函数为 。 4.条件期望E(XY)是 的函数, (是or不是)随机变量。 5.X1,X2,?Xn是独立同分布的随机变量,Xi的特征函数为gi(t),则

??X1?X2???Xn的特征函数是 。

6.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。

第二章

7.宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。

8.在独立重复试验中,若每次试验时事件A发生的概率为p(0?p?1),以X(n)记进行到n次试验为止A发生的次数, 则{X(n),n?0,1,2,?}是 过程。 9.正交增量过程满足的条件是 。 10.正交增量过程的协方差函数CX(s,t)? 。

第三章

11. {X(t), t≥0}为具有参数??0的齐次泊松过程,其均值函数为 ; 方差函数为 。

12.设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为?1,?2,?3且均为泊松过程,它们相互独立,若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时),相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ,汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。

13.{X(t), t≥0}为具有参数??0的齐次泊松过程,

P?X(t?s)?X(s)?n?? 。n?0,1,?

14.设{X(t), t≥0}是具有参数??0的泊松过程,泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望是 。

15.在保险的索赔模型中,设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布,求一年中保险公司的平均赔付金额 。

16.到达某汽车总站的客车数是一泊松过程,每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车内乘客数独立同分布,且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立,则在[0,t]内到达汽车总站的乘客总数是 (复合or非齐次)泊松过程.

17.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2min内到达的顾客不超过3人的概率是 .

第四章

18. 无限制随机游动各状态的周期是 。 19.非周期正常返状态称为 。

20.设有独立重复试验序列{Xn,n?1}。以Xn?1记第n次试验时事件A发生,且

P{Xn?1}?p,以Xn?0记第n次试验时事件A不发生,且P{Xn?0}?1?p,若有

Yn??Xk,n?1,则{Yn,n?1}是 链。

k?1n答案 一、填空题

1.g(t); 2.EX; 3.enibtg(at) 4.Y;是 5.?gi(t); 6.等价

i?1n7.时间差; 8.独立增量过程;

9.E?X(t2)?X(t1)??X(t4)?X(t3)??0 10.?X(min{s,t})

2????1e??1t11.?t;?t; 12.f(t)???0?(?1??2??3)e?(?1??2??3)tt?0 f(t)??t?00?t?0t?0

(?t)n??tn71e 14. 15.240000 16.复合; 17.e?4 13.

?3n!18.2; 19.遍历状态; 20.齐次马尔科夫链;

二、判断题(每题2分) 第一章

1.gi(t)(i?1,2,?n)是特征函数,

?ngi(t)不是特征函数。

( ) i?12.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。( ) 3.任意随机变量均存在特征函数。( ) n4.gi(t)(i?1,2,?n)是特征函数,

?gi(t)是特征函数。

( ) i?15.设?X1,X2,X3,X4?是零均值的四维高斯分布随机变量,则有

E(X1X2X3X4)?E(X1X2)E(X3X4)+E(X1X3)E(X2X4)+E(X1X4)E(X2X3)(第二章

6.严平稳过程二阶矩不一定存在,因而不一定是宽平稳过程。( ) 7.独立增量过程是马尔科夫过程。( ) 8.维纳过程是平稳独立增量过程。( )

第三章

9.非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。( )

第四章

10.有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。( )

11.有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。( )

12.有限马尔科夫链,若有状态k使limp(n)n??ik?0,则状态k即为正常返的。( 13.设i?S,若存在正整数n,使得p(n)(n?1)ii?0,pii?0,则i非周期。

( )14.有限状态空间马氏链必存在常返状态。( ) 15.i是正常返周期的充要条件是limp(n)n??ii不存在。( )

16.平稳分布唯一存在的充要条件是:只有一个基本正常返闭集。( ) 17.有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。( ) 18.i是正常返周期的充要条件是limp(n)n??ii存在。( )

) 19.若i?j,则有di?dj( )

20.不可约马氏链或者全为常返态,或者全为非常返态.( )

答案 二、判断题

1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√ 8.√ 9.×

10.√ 11.√ 12.√ 13.√ 14.√ 15.√ 16.√ 17.× 18.× 19.√ 20.√

三、大题 第一章

1.(10分)—(易)设X~B(n,p),求X的特征函数,并利用其求EX。 2.(10分)—(中)利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程,

?cos?t,出现正面X(t)?????t???

出现反面?2t,出现正面和反面的概率相等,求X(t)的一维分布函数F(x,1/2)和F(x,1),X(t)的二维分布函数F(x1,x2;1/2,1)。

3.(10分)—(易)设有随机过程X(t)?A?Bt,t?0,其中A与B是相互独立的随机变量,均服从标准正态分布,求X(t)的一维和二维分布。

第二章

4.(10分)—(易)设随机过程X(t)=Vt+b,t∈(0,+∞), b为常数,V服从正态分布N(0,1)的随机变量,求X(t)的均值函数和相关函数。

5.(10分)—(易)已知随机过程X(t)的均值函数mx(t)和协方差函数B x(t1, t2),g(t)为普通函数,令Y(t)= X(t)+ g(t),求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。

6.(10分)—(中)设{X(t),t?T}是实正交增量过程,T?[0,?),X(0)?0,?是一服从标准正态分布的随机变量,若对任一t?0,X(t)都与?相互独立,求

Y(t)?X(t)??,t?[0,?)的协方差函数。

7.(10分)—(中)设{Z(t)?X?Yt,???t???},若已知二维随机变量(X,Y)的协

??12方差矩阵为?????,求Z(t)的协方差函数。 2??2?8.(10分)—(难)设有随机过程{X(t),t?T}和常数a,试以X(t)的相关函数表示随机过程Y(t)?X(t?a)?X(t),t?T的相关函数。

第三章

9.(10分)—(易)某商店每日8时开始营业,从8时到11时平均顾客到达率线性增加.在8时顾客平均到达率为5人/时,11时到达率达到最高峰20人/时,从11时到13时,平均顾客到达率维持不变,为20人/时,从13时到17时,顾客到达率线性下降,到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的,问在8:30—9:30间无顾客到达商店的概率是多少?在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少?

10.(15分)—(难)设到达某商店的顾客组成强度为?的泊松过程,每个顾客购买商品的概率为p,且与其它顾客是否购买商品无关,求(0,t)内无人购买商品的概率。 11.(15分)—(难)设X1(t) 和X2 (t) 是分别具有参数?1和?2的相互独立的泊松过程,证明:Y(t)是具有参数?1??2的泊松过程。

12.(10分)—(中)设移民到某地区定居的户数是一泊松过程,平均每周有2户定居.即

??2。如果每户的人口数是随机变量,一户四人的概率为1/6,一户三人的概率为1/3,一

户两人的概率为1/3,一户一人的概率为1/6,并且每户的人口数是相互独立的,求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。

13.(10分)—(难)在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为pt(k)??kk!e??,k?0,1,2,?,

其中??0为常数.如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的,求在时间2t内呼叫n次的概率P2t(n)

14.(10分)—(易)设顾客到某商场的过程是泊松过程,巳知平均每小时有30人到达,求下列事件的概率:两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min

15.(15分)—(中)设进入中国上空流星的个数是一泊松过程,平均每年为10000个.每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001,求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW和P{W≥2}.

16.(10分)—(易)通过某十字路口的车流是一泊松过程.设1min内没有车辆通过的概率为0.2,求2min内有多于一辆车通过的概率。

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4