5.4 数列求和
[知识梳理]
1．基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式：
n?a1＋an?n?n－1?Sn＝＝na1＋d.
2
2
(2)等比数列求和公式：
na1，q＝1，??
Sn＝?a1－anqa1?1－qn?
＝，q≠1.?1－q?1－q2．非基本数列求和常用方法
(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法． 常见的裂项公式： ①②③④
1?11?1＝?－?；
n?n＋k?k?nn＋k?
1?11?1－＝??；
?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?111?1?； －＝??n?n＋1??n＋2?2?n?n＋1??n＋1??n＋2??
1
n＋n＋kk1
＝(n＋k－n)．
3．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝
n?n＋1?
2
；
2
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n； (3)1＋2＋3＋…＋n＝
3
3
3
3
2
2
2
2
n?n＋1??2n＋1?
6
；
(4)1＋2＋3＋…＋n＝?[诊断自测] 1．概念辨析
?n?n＋1??2.
??2?
(1)已知等差数列{an}的公差为d，则有
1
anan＋1d?anan＋1?
1?1?1
＝?－?.( )
2
2
(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin88°＋sin89°＝44.5.( )
(3)求Sn＝a＋2a＋3a＋…＋na时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )
(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是(n>1，n∈N)首项为1，公比为3的等比数列，则3－1
数列{an}的通项公式是an＝.( )
2
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．教材衍化
(1)(必修A5 P47T4)数列{an}中，an＝
12017
，若{an}的前n项和为，则项数n为( )
n?n＋1?2018
n*
2
3
2
2
2
nA．2014 B．2015 C．2016 D．2017 答案 D
111n2017
解析 an＝－，Sn＝1－＝，又前n项和为，所以n＝2017.故选D.
nn＋1n＋1n＋12018111?1?(2)(必修A5 P61T4)已知数列：1，2，3，…，?n＋n?，…，则其前n项和关于n的
248?2?表达式为________．
答案
n?n＋1?
21
＋1－n
2
解析 将通项式分组转化为等差与等比两数列分别求和，即Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
?1＋12＋…＋1n?＝n?n＋1?＋1－1. ?22n2?22??
3．小题热身
(1)数列{an}的通项公式为an＝ncosnπ
2
，其前n项和为Sn，则S2018等于( )
A．－1010 B．2018 C．505 D．1010 答案 A
π
解析 易知a1＝cos＝0，a2＝2cos