7.4 基本不等式
一、选择题
1．若x＞0，则x＋的最小值为( )．
4
xA．2 B．3 C．22 D．4
4
解析 ∵x＞0，∴x＋≥4.
x答案 D
23
2．设a，b满足2a＋3b＝6，a>0，b>0，则＋的最小值为( )
ab25
A. 611
C. 3
8
B. 3 D．4
解析 由a>0，b>0,2a＋3b＝6得＋＝1，
322323ab23ba∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋ abab3232ab13≥＋2 6
abba1325·＝＋2＝. ab66
ba6
当且仅当＝且2a＋3b＝6，即a＝b＝时等号成立．
ab52325
即＋的最小值为. ab6答案 A
3．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天
?n*?
起连续使用，第n天的维修保养费为?＋4.9，n∈N?元，使用它直至“报废最
?10?
合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( )
A．600天 B．800天 C．1 000天 D．1 200天
解析 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为
n???5＋＋4.9?n10??
32 000＋
2
n＝
32 000n＋＋4.95， n20
32 000n当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.本题的函数模型是一个在生
n20
活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去． 答案 B
4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )． 11
A.＋有最大值4
ab
1
B．ab有最小值
4
2
2
C.a＋b有最大值2 解析 由基本不等式，得ab≤
2
D．a＋b有最小值 2
a2＋b2
2
＝
a＋b2
2
－2ab11
，所以ab≤，故B错；
4a1a＋b1a＋b＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤ babab2
a＋b2
＝ 1
，即a2
11
＋b≤ 2，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．
42答案 C
14
5．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )．
ab7
A. 2
B．4
9
C.
2
D．5
141?14?1??b4a??1?
解析 依题意得＋＝?＋?(a＋b)＝?5＋?＋??≥?5＋2
ab2?ab?2??ab??2?b4a?9
×?＝，ab?2
a＋b＝2??b4a当且仅当?＝
ab??a＞0，b＞04
1
2
，即a＝，
3
b＝时取等号，即＋的最小值是，选C. 3ab2
49
答案 C
a＋b6．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则
cd的最小值是( )． A．0
B．1
C．2
D．4
2
2
a＋b解析 由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则
cd≥
x＋y＝
xy2
xyxy2
＝4，当且仅当x＝y时取等号．
答案 D
117. 已知a、b都是正实数， 函数y?2aex?b的图象过（0,1）点，则?的最
ab小值是（ ）
A．3?22 B．3?22 C．4 D．2
答案 A 二、填空题
8. 已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． ?4x＝3y，
解析 ∵12＝4x＋3y≥24x×3y，∴xy≤3.当且仅当?
?4x＋3y＝12，
即
?x＝3，
2??y＝2.
答案 3
时xy取得最大值3.
2ab9．若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________．
|a|＋2|b|
解析 a是1＋2b与1－2b的等比中项，则a2＝1－4b2?a2＋4b2＝1.
2ab2ab∵a2＋4b2＝(|a|＋2|b|)2－4|ab|＝1.∴＝，这个式子只有|a|＋2|b|1＋4|ab|
当ab>0时取得最大值，当ab>0时，