一、填空题
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1．设y＝x3与y＝(2)x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是 (n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.
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解析：作出y＝x3与y＝(2)x－2的图象观察可知1 2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x y 1 124.4 2 35 3 －74 4 14.5 5 －56.7 6 －123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个． 解析：依题意，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个． 答案：3 1 3．设函数f(x)＝3x－ln x(x>0)，有下列命题： 1 ①在区间(e，1)，(1，e)内均有零点； 1 ②在区间(e，1)，(1，e)内均无零点； 1 ③在区间(e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点； 1 ④在区间(e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点． 正确命题的序号是________． 11 解析：f′(x)＝3－x，易知f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，∴f(x)1111e 在(e，e)上单调递减，又f(e)＝3e＋1>0，f(1)＝3－0>0，f(e)＝3－1<0， 1 ∴f(1)·f(e)<0，f(e)·f(1)>0. 1 ∴f (x)在区间(e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点． 答案：④ 4．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是1，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________． 解析：由题意知ax＋b＝0(a≠0)的解为x＝1，∴b＝－a， ∴g(x)＝－ax2－ax＝－ax(x＋1)， 由g(x)＝0得x＝0或x＝－1. 答案：0或－1 5．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是________． 5解析：设f(x)＝x－2mx＋4，则题设条件等价于f(1)<0，即1－2m＋4<0?m>2. 2 5 答案：m>2 20 6．若函数f(x)＝x3－ax2(a>0)在区间(3，＋∞)上是单调增函数，则使方程f(x)＝1 000有整数解的实数a的个数是________． 解析：令f′(x)＝3x2－2ax>0， 2a 则x>3或x<0. 20202a 由f(x)在区间(3，＋∞)上是单调增函数知(3，＋∞)?(3，＋∞)， 1 0001 000 从而a∈(0,10]．由f(x)＝1 000得a＝x－x2，令g(x)＝x－x2，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且与x轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g(x)与y＝a(0 2 7．函数f(x)＝ln(x＋1)－x的零点所在的区间是(n，n＋1)，则正整数n＝________. 2 解析：设x0是函数f(x)＝ln(x＋1)－x的零点，而f(1)<0，f(2)>0， ∴x0所在的区间是(1,2)，∴n＝1. 答案：1 8．已知f(x)＝2x，g(x)＝3－x2，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数是________． 解析：在同一坐标系内作出函数f(x)＝2x与g(x)＝3－x2的图象，两图象有两个交点，故函数y＝f(x)－g(x)有两个零点． 答案：2 9．若函数f(x)＝x2·lg a－2x＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是________． 解析：由题意可知，f(1)f(2)<0，即(2lg a－1)lg a<0，解得1 10．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围． 解析：设f(x)＝3x2－5x＋a， 则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内， ?f?0?<0，∴?f?1?<0，?f?3?>0， f?－2?>0， ?a<0，即?3－5＋a<0， ?3×9－5×3＋a>0， 解得－12 3×?－2?2－5×?－2?＋a>0， ∴所求a的取值范围是(－12,0)． 11．已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围． 解析：二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0，