2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习:第二章 第九节 函数与方程 Word版含解析

一、填空题

1

1.设y=x3与y=(2)x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0所在的区间是 (n,n+1)(n∈Z),则n=________.

1

解析:作出y=x3与y=(2)x-2的图象观察可知1

2.已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的曲线,且有如下的对应值:

x y 1 124.4 2 35 3 -74 4 14.5 5 -56.7 6 -123.6 则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个. 解析:依题意,f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个. 答案:3

1

3.设函数f(x)=3x-ln x(x>0),有下列命题: 1

①在区间(e,1),(1,e)内均有零点; 1

②在区间(e,1),(1,e)内均无零点;

1

③在区间(e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点; 1

④在区间(e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点. 正确命题的序号是________.

11

解析:f′(x)=3-x,易知f(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,∴f(x)1111e

在(e,e)上单调递减,又f(e)=3e+1>0,f(1)=3-0>0,f(e)=3-1<0, 1

∴f(1)·f(e)<0,f(e)·f(1)>0.

1

∴f (x)在区间(e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点.

答案:④

4.若函数f(x)=ax+b有一个零点是1,则函数g(x)=bx2-ax的零点是________. 解析:由题意知ax+b=0(a≠0)的解为x=1,∴b=-a, ∴g(x)=-ax2-ax=-ax(x+1), 由g(x)=0得x=0或x=-1. 答案:0或-1

5.若方程x2-2mx+4=0的两根满足一根大于1,一根小于1,则m的取值范围是________.

5解析:设f(x)=x-2mx+4,则题设条件等价于f(1)<0,即1-2m+4<0?m>2.

2

5

答案:m>2

20

6.若函数f(x)=x3-ax2(a>0)在区间(3,+∞)上是单调增函数,则使方程f(x)=1 000有整数解的实数a的个数是________. 解析:令f′(x)=3x2-2ax>0, 2a

则x>3或x<0.

20202a

由f(x)在区间(3,+∞)上是单调增函数知(3,+∞)?(3,+∞),

1 0001 000

从而a∈(0,10].由f(x)=1 000得a=x-x2,令g(x)=x-x2,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,且与x轴交于点(10,0),在同一直角坐标系中作出函数g(x)与y=a(00,所以方程x3-10x2-1 000=0在区间(14,15)上存在根x0,因此从图象可以看出在(10,x0]之间f(x)=1 000共有4个整数解. 答案:4

2

7.函数f(x)=ln(x+1)-x的零点所在的区间是(n,n+1),则正整数n=________. 2

解析:设x0是函数f(x)=ln(x+1)-x的零点,而f(1)<0,f(2)>0, ∴x0所在的区间是(1,2),∴n=1.

答案:1

8.已知f(x)=2x,g(x)=3-x2,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是________. 解析:在同一坐标系内作出函数f(x)=2x与g(x)=3-x2的图象,两图象有两个交点,故函数y=f(x)-g(x)有两个零点. 答案:2

9.若函数f(x)=x2·lg a-2x+2在区间(1,2)内有且只有一个零点,那么实数a的取值范围是________.

解析:由题意可知,f(1)f(2)<0,即(2lg a-1)lg a<0,解得1

10.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a的取值范围.

解析:设f(x)=3x2-5x+a,

则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示). ∵f(x)=0的两根分别在区间(-2,0),(1,3)内,

?f?0?<0,∴?f?1?<0,?f?3?>0,

f?-2?>0,

?a<0,即?3-5+a<0,

?3×9-5×3+a>0,

解得-12

3×?-2?2-5×?-2?+a>0,

∴所求a的取值范围是(-12,0).

11.已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.

解析:二次函数f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定是对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,

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