第五章 静电场
本章要点：
掌握：场强、电势及其相互关系，叠加原理和高斯定理的应用，以及电偶极子的电势概念； 理解：安培环路定理，能斯特方程，以及静电场的性质； 了解：电偶层电势，生物膜电位，以及心电信号的形成机制。
5-1 电场强度和高斯定理
一、库仑定律
1．电荷：表示物质的带电属性；
正、负， 同号相斥、异号相吸； 电荷量Q(q) 单位：库仑，C 2．点电荷：(point charge)
忽略其大小和形状的带电体。 3．库仑定律
a.适用于真空中的点电荷；
b.大小：与q1、q2的乘积成正比，r2成反比； c.方向：沿连线的矢径方向,同号相斥,异号相吸； d.作用点：受力电荷。
二、电场(electric field) 、电场强度 1. 电场：
电荷在其周围空间所产生的特殊形态物质叫电场； 电场的特征是对放入其中的电荷有力的作用。
2. 电场强度：(electric intensity)
定义：电场中某点的场强等于单位正电荷在该点受力的大小； 方向：正电荷受力方向；
单位：牛/库(N/C)； 伏/米(V/m);
匀强电场：各点的场强大小、方向均相同。 3. 点电荷场强
方向 ：q“+”E与r同向，指向外； q“-”E与r反向，指向内。 4. 叠加原理
点电荷系在某点产生的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。 * 连续分布的带电体
三、电场线和电通量(electric flux)
1．电场线(electric field line，也叫电力线)
在电场中作一系列曲线，使线上每一点的切线方向为该点的场强方向，这些曲线称为电场线。
性质:
a. 电力线起于正电荷，止于负电荷(或无穷远)，既不闭合亦不中断； b. 任意两条电力线都不相交。
c.静电场是有源场。
2．电通量
在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称为穿过该面的电通量，用?e表示。 均强电场： 闭合曲面：
不均匀电场：曲面
小面元：d?e = Ecos?dS=E?dS
规定：曲面自内向外的方向为法线正方向。
四、高斯定理(Gauss) 1.推导：
表明：由点电荷发出的通过闭合球面的?e与球面的半径无关。 推广：
任意闭合曲面
负电荷 不含电荷
多个点电荷
2. 高斯定理表述 3. 讨论
a.电通量只与曲面内电荷的代数和有关，与电荷分布无关； b.E是空间中所有电荷产生的电场；
通过任意闭合曲面的电通量，等于该面所包围电荷的代数和除以q0。 c. 所选取的闭合曲面称为高斯面； 4.高斯定理的应用
(1)均匀带电球面的电场 设带电量为Q，则 r＞R
r＜R E内= 0 (2) 均匀带电球体 设带电量为Q
(3) 无限大均匀带电平面
结论：* E的大小：与场点到平面的距离无关； * E的方向：垂直于带电平面；
σ＞0，E由平面指向两侧；
σ＜0，E由两侧指向平面。
【思考】带等量异号电荷的两个无限大平板之间的电场为…，板外电场为…。
练习题：
试求无限长均匀带电细棒在空间产生的电场，设电荷线密度为λ。
步骤：
a. 分析电荷对称性：即先分析电场分布是否具有球对称、面对称、或轴对称性； b. 根据对称性取高斯面：尽量使所选高斯面上的E要么为0，要么为常数，以便于计算。 c. 根据高斯定理求场强。
5-2 电势
一、静电场力做功 1. 点电荷q电场：
对试探电荷q0作的功为 dA=q0Ecos?dl
电荷在静电场中移动时，电场力对它所作的功只与电荷移动的始、末位置有关，而与移动的具体路径无关。
表明：静电场是保守力场或有势场。 2. 结论:
静电场力沿任何闭合路径作功等于0，可推得 * 静电场的环路定理：
在静电场中场强沿任意闭合路径的线积分等于零。
二、电势(potential) 电势差
1.电势能－电场力是保守力。
a.电荷放在电场中某一位置时，具有电势能（W） b.电场力对电荷做功等于电荷电势能的改变 Aab>0,Wa>Wb电场力作正功,电势能减少 Aab<0,Wa c.电势能是相对量，规定：q0在无穷远处的电势能为零，即 W∞=0 2.电势： 定义：电场中某点的电势等于单位正电荷在该点所具有的电势能。其大小等于把单位正电荷从该点移到无穷远时电场力所作的功。 单位：伏特(V)。电势是标量也是相对量，其大小与参考点的选择有关。 * 电荷分布在有限范围—选无穷远或地球为电势零点 * 电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无限远。 3. 点电荷电势 4. 叠加原理 电荷连续分布的带电体： 5.电势差：电场中两点之间电势的差值 静电场中a、b两点的电势差Uab，等于把单位正电荷从a移到b时电场力所作的功。 电场力作功： 三、场强与电势的关系 1.等势面(equal potential surface) 定义：电势相等的各点所构成的曲面叫等势面 规定：相邻等势面间的电势差都相等 性质： 沿等势面移动电荷时，电场力做功为零； 等势面与电力线垂直. 点电荷的等势面 2.场强与电势间的积分关系 注意: 只适用于电荷分布在有限区域内的情况,否则积分上限应为所选的零电势点; 在场强分布规律(即函数关系)不同的区间,积分要分段进行; 积分线路的选择是任意的,可选取最佳线路积分。 例题： (1) 求半径为R，带电为Q的均匀球面在空间的电势分布。 (2) 有两个同心的金属球壳，大球半径为R1，带正电荷Q，小球半径为R2，带负电荷-Q，试求：带电体在空间的电势分布。 3.场强与电势间的微分关系(电势梯度) 电场中某点的场强在任一方向l上的分量，等于电势在该方向上变化率的负值。 dl 沿等势面的切线方向时,θ=90°，El =0 讨论： dl 沿等势面的法线方向时,电势的空间变化率最大，θ=0°,En=Ecos0=E 是电势沿等势面法线方向的变化率,叫电势梯度 讨论： 电势梯度表示电势沿电场(线)方向变化的快慢程度; 负号表示场强指向电势降低的方向。 场强大的地方，电势变化得快，等势面密集。 四、电偶极子的电势 1、电偶极子：两个相距很近的等量异号点电荷组成的带电系统 2、电偶极矩：矢量l与电荷q的乘积。方向沿l (电轴)方向。 3、电偶极子的电势公式: 表明: 电偶极子的电势与电矩P成正比。 电势分布与方位?有关。以电偶极子轴线的中垂面为零势面、将整个电场分为正负两个对称的区域。 五、电偶层的电势 1、电偶层：相距很近、互相平行且具有等值异号电荷密度的两个带电表面。 2、电偶层外某点a的电势：可将电偶层看成由许多平行排列的电偶极子所组成。 *立体角：若从a点看到电偶层元正电面，则dΩ取正值，反之取负值。 Ps为单位面积电偶层的电偶极矩，即层矩。 *表明：电偶层在某点产生的电势，只与层矩Ps与电偶层对该点所张立体角有关，而与电偶层的形状无关。 故整个电偶层在a点的电势: *推论：有相同电荷分布的闭合电偶层在其外部空间所产生的电势为零。 5-3 细胞膜电位 膜电位：指细胞膜内﹑外之间存在的电势差。 一、能斯特方程 设半透膜只允许K＋通过，不让Cl-通过，左方KCl浓度C1>右方的C2。 因浓度不同，K向右侧扩散；逐步形成一阻碍扩散的电场。最终K扩散和电场的阻碍达到平衡，此时膜两侧形成稳定的电势差。 经推导得膜两侧电势差为： 上式叫能斯特方程。 其中C1、C2为膜两侧的溶液浓度； T为半透膜两侧温度，k为玻尔兹曼常数，Z为离子价数，e为电子电量，F=eNA为法拉第常数。 形成机制: 1.膜内外离子浓度不同； 2.膜对不同离子通透性不同 二、细胞静息电位 细胞膜是一个半透膜; 在细胞的内﹑外存在着多种离子,其中主要是K+﹑Na+﹑Cl-和大蛋白质离子; K+﹑Na+﹑Cl-离子都可以在不同程度上透过细胞膜,而其它离子则不能透过; 因此那些能够透过细胞膜的离子才能形成跨膜(静息)电位 在生理学上，通常将细胞膜外的电位UO定为0； 人体神经细胞膜内外离子浓度值(mol﹒m-3) 在人体T=310K时，将上表数据代入能斯特方程得各种离子的平衡电位为： 讨论：用上述计算值与实测静息电位-86mV比较,可见： Cl-离子正好处于平衡状态,即通过细胞膜扩散出入的Cl-离子数目保持平衡; K离子两结果相差不大; Na+离子相差很远,说明静息状态下细胞膜对其通透性很小 5-4 心电图和心电向量 一、心电的产生和心电偶 1. 心肌细胞的电偶极矩 a. 无刺激时,心肌细胞形成一均匀的闭合电偶层，对外呈电中性。医学上,静息时膜两侧内负外正的电荷分布称为膜的极化; b.细胞受刺激时，膜对离子通透性改变，此时心肌细胞类似一电偶极子，随着刺激在细胞中的传播其电偶极矩是变化的，这一过程称为除极； c.除极结束。心肌细胞又呈电中性； d.除极完成后膜对离子通透性立即恢复原状，即细胞恢复到极化状态，该过程称为复极。复极过程亦伴随一变化的电偶极矩； e.复极结束,整个细胞恢复到极化状态,又可接受另一次刺激。 可见，心肌细胞受刺激后在除极复极过程中，形成一个变化的电偶极矩，其周围空间的电场和电势是不断变化的。 2. 心电偶的电性质及其描述 * 心电偶：把心脏(即所有心肌细胞)简化为一个处在容积导体中的偶极子模型，简称心电偶。 * 心电场：心电偶和容积导体的导电，在体内形成一心电场，体表会产生随时间变化的电势。 * 心电图：为体表电势变化的记录。 (1)瞬时心电向量 一个心肌细胞的除极和复极产生变化的电偶极矩，某一时刻所有心肌细胞的电偶极矩矢量 + ＋＋