2015年全国新课标2高考数学文科试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学能力测试

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知集合A={x|-1

(A)(-1,3) (B)(-1,0) (C)(0,2) (D)(2,3)

(2)若a为实数且

2?ai?3?i,则a= 1?i(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4

(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是 (A) 逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007年我

化硫排放

(C) 2006年以

化硫年排趋势

(D) 2006年以

化硫年排正相关

(4)a?(1,?1),b?(?1,2),则(2a?b)?a?

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(5)Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+ a3+ a5=3,则S5?

(A)5 (B)7 (C)9 (D)11

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

(A)

?????国治理二氧显现 来我国二氧放量呈减少

来我国二氧放量与年份

1111 (B) (C) (D) 85763),C(2,3)则?ABC外接圆的圆心到原点的距离为

(7)过三点A(1,0),B(0, (A)

212554 (B)(C) (D)

3333(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输

入a,b分别为14,18,则输出的a= A.0 B.2 C.4 D.14 (9)已知等比数列{an}满足a1?1,a3a5?4?a4?1?,则a2? 411(A)2 (B)1 (C) (D)

82(10)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,

则球O的表面积为

1

A.36π B.64π C.144π D.256π

(11).如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为 (12)

(A)(,1) (B)(??,)?(1,??)(C)(?,)(D)(??,?)?(,??) 二、填空题

(13)已知函数f(x)?ax?2x的图象过点(?1,4)则a? ?x?y?5?0(14)若x,y满足约束条件?2x?y?1?0,则z??x?2y?1?0?3131311331313?2x?y的最大值为____________.

1x,则该双曲线的标准方程是 22(16)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切,则a=

(15)已知双曲线过点(4,3)且渐近线方程为y??三.解答题

(17)?ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC (Ⅰ) 求sin?B0 (Ⅱ) 若?BAC?60,求?B

sin?C(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表

(1)做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:

满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大 19.(12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4。过E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值。

2220. 椭圆C:x2?y2?1,(a?b?0)的离心率 2,点(2,2)

ab2在C上

(1)求椭圆C的方程

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. 证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; 21.设函数

f(x)?lnx?a(1?x)(Ⅰ)讨论:f(x)的单调性;

(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。

(22) (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,O为等腰三角形ABC内一点,圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G,且与AB、AC分别相切于E、F两点. (1)证明:EF平行于BC

2

(2) 若AG等于圆O的半径,且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。

?x?tcos?,(23)在直角坐标系xOy中,曲线C1:? (t为参数,且t?0 ),其中0????,在以O为极点,x轴正

y?tsin?,?半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:??2sin?,C3:??23cos?. (I)求C2与C3交点的直角坐标;

(II)若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值. (24)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲

设a、b、c、d均为正数,且a+b=c+d,证明:

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文科数学能力测试答案

1、选A

2、解:因为2?ai?(3?i)(1?i)?2?4i,所以a?4.故选D 3、选D 4、选C

5、解:在等差数列中,因为 6、解:如图所示,选D.

7、解:根据题意,三角形ABC是等边三角形,设外接圆的圆心为D,则D(1,

23)所以, 3OD?1?4?3721?.故选B. 338、解:18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,

4-2=2,所以a=b=2,故选B. 9、解:因为?an?满足a1?21,a3a5?4(a4?1),所以, 411?2?.故选C. 42a4?4(a4?1),解得a4?2,又a4?a1q3,所以q?2,所以a2?a1q?10、解:因为A,B都在球面上,又?AOB?90?,C为该球面上动点,所以 三棱锥的体积的最大值为?21121R?R?R3?36,所以R=6,所以球的表面积为 326S=4πR?144π,故选C.

11、解:如图,当点P在BC上时, 当x??4时取得最大值1?5,

以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆,显然,当点P在C,D之间移动时PA+PB<1?5. 又函数f(x)不是一次函数,故选B. 12、解:因为函数f(x)?ln(1?x)?1,是偶函数,x?[0,??)时函数是增函数 21?x1?f(x)?f(2x?1)?x?2x?1,?x2?(2x?1)2,解得?x?1.故选A.

313、答:a= -2

14、解:当x=3,y=2时,z=2x+y取得最大值8.

15、解:设双曲线的方程为x2?4y2?k(k?0),点(4,,3)代入方程,解得k?4.

1,?切线的斜率为2,切线方程为y?2x?1. xsin?BAC?, 17、解:(Ⅰ)由正弦定理得

sin?CAB16、解:y'?1?

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