“概率论与数理统计”测试题参考答案
1．设A, B是两个随机事件，已知P(A) = 0.6，P(B) = 0.8，P(BA)=0.2，求：（1）P(AB)；（2）P(AB).
解：（1） P(A)=1?P(A)= 0.4
P(AB)= P(A)P(BA)=0.4 ?0.2 = 0.08 （2） P(AB)=1-P(AB)
= 1 -
P(AB)0.08=1-= 0.9
P(B)0.82．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋
子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率． 解：设A1=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，A2=“取到的都是白子”，A3=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则 （1）P(A1)?1?P(A1)?1?P(A2)
3C8 ?1?3?1?0.255?0.745．
C12 （2）P(B)?P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)
3C4 0.255?3?0.255?0.018?0.273．
C123．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．
解：设Ai：“是第i台车床加工的零件”(i?1,2)，B：“零件是合格品”.由全概公式有 P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)
31，P(A2)?，P(BA1)?0.99，P(BA2)?0.98，故 4431 P(B)??0.99??0.98?0.9875
44显然P(A1)?4．一袋中有9个球，其中6个黑球3个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽
取出的是白球的概率. 解：设如下事件：
Ai：“第i次抽取出的是白球”（i?1,2） 显然有P(A1)?3，由全概公式得 9 P(A2)?P(A1)P(A2A1)?P(A1)P(A2A1) ?12231???? 383835．设X~N(3,4)，试求⑴P(5?X?9)；⑵P(X?7)．（已知?(1)?0.8413,
?(2)?0.9772,?(3)?0.9987）
解：⑴P(5?X?9)?P(5?3X?39?3X?3??)?P(1??3) 2222 ??(3)??(1)?0.9987?0.8413?0.1574
X?37?3?) 22X?3X?3 ?P(?2)?1?P(?2)
22 ⑵P(X?7)?P( ?1??(2)?1?0.9772?0.0228 6．设随机变量X的概率密度函数为
?Ax2f(x)???0求（1）A；（2）E(X)；（3）D(X).
??10?x?1
其它解： （1）由1????f(x)dx????01AAxdx?Ax3??1，得出A?3
3032111342（2） E(X)??xf(x)dx??3x?xdx?x??0435222（3）E(X)??3x?xdx?x0511?03 403? 5D(X)?E(X2)?(E(X))2?393?? 516807．设随机变量X ~ N（3，4）．求：（1）P（1< X < 7）；（2）使P（X < a）=0.9成立的常数a ． (?(1.0)?0.8413，?(1.28)?0.9，?(2.0)?0.9973)． 解：（1）P（1< X < 7）=P(1?3X?37?3??) 222 =P(?1?X?3?2)=?(2)??(?1) 2X?3a?3a?3?)=?()= 0.9 222 = 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386 （2）因为 P（X < a）=P(所以
a?3?1.28，a = 3 + 2?1.28 = 5.56 28．从正态总体N（?，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x= 21，求?的置信
度为95%的置信区间．(已知 u0.975?1.96) 解：已知??3，n = 64，且u? 因为 x= 21，ux???n ~ N(0,1)
1??2?1.96，且
u??21?n?1.96?364?0.735
所以，置信度为95%的?的置信区间为： [x?u??21?n,x?u??21?n]?[20.265,21.735]．
9．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）
10.4，10.6，10.1，10.4 问：该机工作是否正常(??0.05, u0.975?1.96)？
解：零假设H0:??10.5.由于已知??0.15，故选取样本函数
U?x???～N(0,1)
n经计算得x?10.375，
?n?0.154?0.075，
x????n10.375?10.5?1.67
0.075由已知条件u1??2?1.96，且
x????1.67?1.96??1??2
n故接受零假设，即该机工作正常.