第2讲 等差数列及其前n项和
配套课时作业
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A．8 C．12 答案 C
3×2
解析 设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2＋d2＝12，解得d＝2，则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.故选C.
2．(2019·宁德模拟)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( ) A．20 C．24 答案 C
解析 因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选C.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 C．36 答案 B
解析 S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，a7＋a8＋a9成等差数列，∴a7＋a8＋a9
＝54－9＝45.故选B.
4．(2019·山东济南调研)已知数列{an}为等差数列，且满足a2＋a8＝8，a6＝5，则其前10项和S10的值为( )
A．50 C．55 答案 B
解析 因为数列{an}为等差数列，且a2＋a8＝8，所以根据等差数列的性质得2a5＝8，所以a5＝4，又因为a6＝5，所以S10＝
B．45 D．40 B．45 D．27 B．22 D．－8 B．10 D．14
a1＋a10
2
＝a5＋a6
2
＝45.故选B.
5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，则a2＋a4＋a9
＝( )
A．9 C．18 答案 C
解析 由等差数列的通项公式及性质，可得
B．15 D．36
S9＝
a1＋a9
2
＝9a5＝54，a5＝6，则a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝18.故选C.
6．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于( ) A．30
B．45
C．90 答案 C
D．186
解析 因为a2＝6，a5＝15，所以a5－a2＝3d，d＝3，所以{bn}是公差为6的等差数列，其前5项和为5a2＋10×6＝90.故选C.
7．(2019·福建模拟)设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5＝2b5，则＝( )
A．2 C．4 答案 A
B．3 D．6
S9T9
a1＋a9
解析 由a5＝2b5，得＝2，所以＝a5b5S9T9
2b1＋b92
＝＝2，故选A.
a5b5
8．(2019·洛阳统考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6 C．12 答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，
B．7 D．13
a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.故选C.
9．(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{an}中，a2＝2，a4＝8，若abn＝3n－1，则b2019
＝( )
A．2017 C．2019 答案 D
8－2
解析 由a2＝2，a4＝8，得公差d＝＝3，所以an＝2＋(n－2)×3＝3n－4，所以an2
＋1
B．2018 D．2020
＝3n－1.又由数列{an}的公差不为0，知数列{an}为单调数列，所以结合abn＝3n－1，可得10．已知数列{an}(n∈N)是等差数列，Sn是其前n项和，且S5
*
bn＝n＋1，故b2019＝2020.故选D.
论错误的是( )
A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S6
D．S6，S7均为Sn的最大值 答案 C
解析 因为S5 11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，m≥2，m∈N，则 * m＝( ) A．3 C．5 答案 C 解析 ∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0， ∴am＝Sm－Sm－1＝2. 又Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， ∴d＝am＋1－am＝1. 又Sm＝ B．4 D．6 ma1＋am2 ＝ ma1＋ 2 ＝0， ∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5. 12．(2019·苏州模拟)定义：在数列{an}中，若满足 an＋2an＋1* －＝d(n∈N，d为常数)，an＋1ana2019 ＝( ) a2017 则称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则 A．4×2019－1 C．4×2017－1 答案 C 解析 由题意知{an}为等差比数列，＝1，＝3，－＝2，所以?2为公差的等差数列，所以 22 B．4×2018－1 D．4×2017 2 2 a2 a1a3a2a3a2a2a1 ?an＋1? ?是以1为首项，?an? an＋1a2019a2019a2018 ＝1＋(n－1)×2＝2n－1，则＝×＝(2×2018－ana2017a2018a2017 2 1)×(2×2017－1)＝4×2017－1.故选C. 13．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)(n∈N)，则a1＋a2＋…＋a51 ＝________. 答案 676 ??0，n为奇数， 解析 ∵an＋2－an＝? ??2，n为偶数， n* ∴数列{an}的奇数项为常数1，偶数项构成以2为 首项，2为公差的等差数列，∴a1＋a2＋…＋a51 ＝(a1＋a3＋…＋a51)＋(a2＋a4＋…＋a50)＝2625×24??×2?＝676. ＋?25×2＋2?? 14．(2019·武汉模拟)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当 n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________． 7??答案 ?－1，－? 8 ?? ??a8>0， 解析 由题意，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，说明? ?a9<0.? ??7＋7d>0， 所以? ?7＋8d<0.? 所 7 以－1 15．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－an＝0，S2n－1＝38，则n等于________． 答案 10 解析 ∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－an＝0， ∴2an－an＝0，即an(2－an)＝0. ∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2(2n－1)＝38， 解得n＝10. 16．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An与Bn，且满足＝则 2 2 2 An7n＋1 (n∈N＋)， Bn4n＋27 a11 的值是________． b11 4答案 3 解析 根据等差数列的性质得： a1＋a21 a112a11a1＋a21 ＝＝＝b112b11b1＋b21 2A211484 ＝＝＝. b1＋b21B2111132 17．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解 (1)设{an}的公差为d，由题意，得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7，得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n－9. (2)由(1)，得Sn＝n－8n＝(n－4)－16. 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 18．(2019·广东惠州调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N. 2an＋1 ?1? (1)证明：数列??是等差数列，并求数列{an}的通项公式； ?an? 2 2 an* (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求使不等式Sn 2n＋1数k的取值范围． 解 (1)证明：因为an＋1＝ an* an11 ，所以＝＋2. 2an＋1an＋1anan?1?1 因为a1＝1，所以数列??是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝2n－1，所以 ?an? an＝ 1. 2n－1 (2)由bn＝， 2n＋1 an